重複順列$_{n}\Pi_{r}$の定義

無題

無題

例えば, の目が描いてある正四面体のさいころを2回振って,出た目を順に 1列に並べる場合の数は次のように求めることができる.

まず,1回目のさいころの目の出方は4通りある.

そして,2回目のさいころの目の出方も4通りある.

つまり,1回目の目の出方4通りに対して,2回目の目の出方も4通りに定まるから,さいころを2回振ったときの目の出方は積の法則より

\[4\times4=16通り\]

となる.

右の図は,さいころを2回振ったときの目の出方16通りを樹形図を用いて表したものである.

ここで, $n$ 個のものから,繰り返し用いることを許して, $r$ 個とって並べる場合の順列を定義しておこう.

重複順列 $_{n}\Pi_{r}$ の定義

(無題)

「区別する $n$ 個のものから,繰り返し用いることを許して, $r$ 個取り出して1列に並べた列」 のことをn-r重複ちょうふく順列(permutation with repetitions)といい,その並べ方の総数を $\boldsymbol{_{n}\Pi_{r}}$ と表す

この例では, $_{4}\Pi_{2}=4\times4=16$ である.