円に内接する四角形
円に内接する四角形
円に内接する四角形
円に内接する四角形 $\text{ABCD}$ において、$\text{AB}=4$、$\text{BC}=5$、$\text{CD}=3$、$\text{DA}=3$ とする。
- $A+C=180^\circ$ を示せ。
- $\cos{A}=-\cos{C}$ を示せ。
- 対角線 $\text{BD}$ の長さを求めよ。
- 四角形 $\text{ABCD}$ の面積を求めよ。
円に内接する四角形
- $\blacktriangleleft$ 正弦定理の証明の中で、別の方法で証明した。中心角は円周角の2倍なので
- $A$ は図の $\dfrac{1}{2}\alpha$ と等しく、
- $C$ は図の $\dfrac{1}{2}\beta$ と等しい。
- 1より、$A=180^\circ-C$ であるので
$\blacktriangleleft$ $180^\circ-\theta$ の三角比参照\[\cos{A}=\cos{(180^\circ-A)}=-\cos{C}\]
- $\triangle\text{ABD}$ に点 $\text{A}$ からみる余弦定理を用いて \begin{align} \text{BD}^2&=4^2+3^2\\ &\qquad-2\cdot4\cdot3\cos{A}\\ &=25-24\cos{A}\tag{1}\label{enninaisetusurusikakkei1} \end{align} $\triangle\text{CBD}$ に点 $\text{C}$ からみる余弦定理を用いて \begin{align} \text{BD}^2&=5^2+3^2\\ &\qquad-2\cdot5\cdot3\cos{C}\\ &=34-30\cos{C}\tag{2}\label{enninaisetusurusikakkei2} \end{align} $\eqref{enninaisetusurusikakkei1}$、$\eqref{enninaisetusurusikakkei2}$、$\cos{A}=-\cos{C}$ より \begin{align} &25-24\cos{A}=34+30\cos{A}\\ \Leftrightarrow~&\cos{A}=-\dfrac{9}{54}=-\dfrac{1}{6} \end{align} これを $\eqref{enninaisetusurusikakkei1}$ に代入して \[\text{BD}^2=25-24\cdot\left(-\dfrac{1}{6}\right)=29\] $\text{BD}\gt0$ であるので、$\boldsymbol{\text{BD}=\sqrt{29}}$ と分かる。
- $\sin{A}=\sqrt{1-\cos^2{A}}=\dfrac{\sqrt{35}}{6}$ より
$\blacktriangleleft$ 三角形の面積参照\begin{align} \triangle\text{ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot3\cdot\dfrac{\sqrt{35}}{6}=\sqrt{35} \end{align}$\blacktriangleleft$ $180^\circ-\theta$ の三角比参照また、$\sin{C}=\sin{(180^\circ-A)}=\sin{A}$ より$\blacktriangleleft$ 三角形の面積参照\begin{align} \triangle\text{CBD}=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot3\cdot\dfrac{\sqrt{35}}{6}=\dfrac{5}{4}\sqrt{35} \end{align} よって、求める面積は $\sqrt{35}+\dfrac{5}{4}\sqrt{35}=\boldsymbol{\dfrac{9}{4}\sqrt{35}}$