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sinA、cosA、tanAの間にはどのような関係があるか

三角比どうしの関係の例題でみたように、同じ角度に対する三角比の値は、互いにばらばらなものではなく、ある関係によって結ばれている。

以下では、この三角比の間に成り立つ関係を、一般的に導いてみよう。

（注）

図の直角三角形において a=csinA , b=ccosA であるから、tanA は tanA=ab=csinAccosA=sinAcosA と表すことができる。つまり tanA=sinAcosA が成り立つ。また、三平方の定理より a2+b2=c2 であるから、これに a=csinA と b=ccosA を代入して (csinA)2+(ccosA)2=c2⇔ c2(sinA)2+c2(cosA)2=c2⇔ (sinA)2+(cosA)2=1 が成り立つ。普通 (sinA)2、(cosA)2、(tanA)2 などは、それぞれ sin2A、cos2A、tan2A と書く。

つまり sin2A+cos2A=1 が成り立つ。

暗記tanA と他の三角比との関係

sin2A+cos2A=1 という関係から、次の式を導け。

  1. 1+1tan2A=1sin2A
  2. tan2A+1=1cos2A

  1. sin2A+cos2A=1 の両辺を sin2A で割ると
    ◂ \eqref{sinAcosAtanAnoaidanihadonoyounakankeigaaruka1} より、\dfrac{\cos{A}}{\sin{A}}=\dfrac{1}{\tan{A}}
    \begin{align} &1+\dfrac{\cos^2{A}}{\sin^2{A}}=\dfrac{1}{\sin^2{A}}\\ \Leftrightarrow&1+\dfrac{1}{\tan^2{A}}=\dfrac{1}{\sin^2{A}} \end{align}
  2. \sin^2A+\cos^2A=1 の両辺を \cos^2A で割ると
    \blacktriangleleft \eqref{sinAcosAtanAnoaidanihadonoyounakankeigaaruka1} より、\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}=\tan{A}
    \begin{align} &\dfrac{\sin^2{A}}{\cos^2{A}}+1=\dfrac{1}{\cos^2{A}}\\ \Leftrightarrow&\tan^2{A}+1=\dfrac{1}{\cos^2{A}} \end{align}

三角比の相互関係

直角三角形

直角三角形

正接、正弦、余弦の関係

正接、正弦、余弦の関係

図の直角三角形において

  1. \sin{A}、\cos{A}、\tan{A} の関係 \tan{A}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}
  2. \sin{A} と \cos{A} の関係 \sin^2{A}+\cos^2{A}=1
  3. \tan{A} と \sin{A} の関係 1+\dfrac{1}{\tan^2{A}}=\dfrac{1}{\sin^2{A}}
  4. \cos{A} と \tan{A} の関係 \tan^2{A}+1=\dfrac{1}{\cos^2{A}}
が成り立つ。

吹き出し\sin{A}、\cos{A}、\tan{A} の間にはどのような関係があるか

3 と4 は記憶しなくても、例題でみたように1 と2 からすぐに導ける。2 両辺を \sin^2A や \cos^2A で割ればよい、ということを記憶しておこう。

三角比どうしの関係の例題を、今度はこの関係を使って解いてみよう。

三角比の相互関係の利用

三角比の相互関係を使って、次の問いに答えよ。ただし、0^\circ\lt{A}\lt90^\circ である。

  1. \sin{A}=\dfrac{3}{5} のとき、\cos{A}、\tan{A} の値を求めよ。
  2. \cos{A}=\dfrac{1}{3} のとき、\sin{A}、\tan{A} の値を求めよ。
  3. \tan{A}=7 のとき、\cos{A}、\sin{A} の値を求めよ。

  1. \sin^2A+\cos^2A=1 より

    \blacktriangleleft 三角比の相互関係参照
    \begin{align} &\cos^2{A}=1-\sin^2{A}\\ =&1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25} \end{align} \cos{A}\gt0 なので、\cos{A}=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\boldsymbol{\dfrac{4}{5}} である。

    また、\tan{A}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}} より

    \blacktriangleleft 三角比の相互関係参照
    \tan{A}=\dfrac{\dfrac{3}{5}}{\dfrac{4}{5}}=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}
    \blacktriangleleft 有理数どうしの比の値参照

  2. \sin^2A+\cos^2A=1 より

    \blacktriangleleft 三角比の相互関係参照
    \begin{align} &\sin^2{A}=1-\cos^2{A}\\ =&1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{8}{9} \end{align} \sin{A}\gt0 なので、\sin{A}=\sqrt{\dfrac{8}{9}}=\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}} である。

    また、\tan{A}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}} より

    \blacktriangleleft 三角比の相互関係参照
    \tan{A}=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{\dfrac{1}{3}}=\boldsymbol{2\sqrt{2}}
    \blacktriangleleft 有理数どうしの比の値参照

  3. \tan^2{A}+1=\dfrac{1}{\cos^2{A}} より

    \blacktriangleleft 三角比の相互関係参照
    \begin{align} &\cos^2{A}=\dfrac{1}{1+\tan^2{A}}\\ =&\dfrac{1}{1+7^2}=\dfrac{1}{50} \end{align} \cos{A}\gt0 なので、\cos{A}=\sqrt{\dfrac{1}{50}}=\dfrac{1}{5\sqrt{2}}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{10}} である。

    また、\tan{A}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}} より

    \blacktriangleleft 三角比の相互関係参照
    \begin{align} &7=\dfrac{\sin{A}}{\dfrac{\sqrt{2}}{10}}\\ \therefore~~&\sin{A}=7\times\dfrac{\sqrt{2}}{10}=\boldsymbol{\dfrac{7\sqrt{2}}{10}} \end{align}