正弦と余弦の定義

正接の場合と同じように、$\angle\text{C}$ が直角である直角三角形 $\text{ABC}$ において、$\angle\text{A}$ から見たときの $\dfrac{（対辺）}{（斜辺）}=\dfrac{\text{BC}}{\text{AB}}$ の値や、$\dfrac{（底辺）}{（斜辺）}=\dfrac{\text{AC}}{\text{BA}}$ の値は、$\triangle\text{ABC}$ の大きさに関係無く、$\angle\text{A}$ の大きさだけで決まる。

正弦と余弦の例

たとえば、図の $\triangle\text{AB'C'}$ は $\triangle\text{ABC}$ の0.75倍の大きさで描かれているが $$\begin{align} &\dfrac{\text{B'C'}}{\text{AB'}}=\dfrac{0.75\times\text{BC}}{0.75\times\text{AB}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{AB}}\\ &\dfrac{\text{AC'}}{\text{B'A}}=\dfrac{0.75\times\text{AC}}{0.75\times\text{BA}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{BA}} \end{align}$$ となり直角三角形の大きさは関係ないのがわかる。

ここで、$\dfrac{（対辺）}{（斜辺）}$ の値を $A$ の正弦せいげんまたは、$A$ のサイン (sine) といい、$\boldsymbol{\sin{A}}$ と書く。

また、$\dfrac{（底辺）}{（斜辺）}$ の値を $A$ の余弦よげんまたは、$A$ のコサイン (cosine) といい、$\boldsymbol{\cos{A}}$ と書く。

吹き出し正弦と余弦の定義

正弦の覚え方

余弦の覚え方

$\sin{A}$ の値 $\dfrac{a}{c}$ や、$\cos{A}$ の値 $\dfrac{b}{c}$ も、$\tan$ のときと同じように、$\sin$ の頭文字 $s$ や、$\cos$ の頭文字 $c$ の筆記体の書き順に合わせて、図のように記憶するとよい。

$\sin{A}$ とは、$\angle\text{A}$ からみたときの斜辺に対する対辺の倍率を表し、$\cos{A}$ とは、$\angle\text{A}$ からみたときの斜辺に対する底辺の倍率を表す。

川を渡らずに川幅を知る方法の例で考えれば、斜辺は3.7cmと測れるから $$\sin35^\circ\fallingdotseq\dfrac{2.1}{3.7}\fallingdotseq0.57,~\cos35^\circ\fallingdotseq\dfrac{3}{3.7}\fallingdotseq0.81$$