数列の一般項

さきほどの例では，10日目にはいったい何円貯金しなければならないだろうか?

実際に数列を書き並べて

$$\begin{align} &\boxed1\ \boxed2\ \ \boxed3\ \boxed4\ \ \boxed5\ \boxed6\ \ \boxed7\ \boxed8\ \ \boxed9\ \boxed{10}\\ &\ 1\ ,\ 3\ ,\ 5\ ,\ 7\ , \ 9\ ,11,13,15,17,19 \end{align}$$

とすれば，19円貯金しなければならないことがわかるが，これでは20日目や50日目の貯金額を知りたいときにかなり面倒である．

そこで，別の見方を考えてみよう．

たとえば，「日にち」と「貯金額」との対応を見たときに， $\boxed{1}\times2−1=1円$ ， $\boxed{2}\times2−1=3円$ ， $\boxed{3}\times2−1=5円,\cdots$ だから

$$(日にち)\times2−1=(貯金額)$$

であることに気がつけば，10日目に貯金しなければならない金額 $a_{10}$ は

$$a_{10}=10\times2−1=19円$$

と求めることができる．この方法を使えば，20日目の貯金額 $a_{20}$ は $a_{20}=20\times21=39円$ ， 50日目の貯金額 $a_{50}$ は $a_{50}=50\times2−1=99円$ と簡単に求めることができる．

さらに， $n$ 日目の貯金額 $a_n$ は

$$a_n=n\times2−1=2n−1円$$

と表すことができる．

このように，数列の第 $n$ 項（ $n$ 日目の貯金額）が $n$ （ $n$ 日目）の式で表されているとき，その第 $n$ 項を一般項(general term)という．一般項が求まれば， $n$ に自然数を順次代入することによって，数列の各項を求めることができる．