一般角

動径

無題

無題

平面上で,点$\text{O}$を中心として半直線$\text{OP}$を回転させるとき, この半直線$\text{OP}$を動径(radius vector) といい, はじめの固定された半直線$\text{OX}$を始線(initial line) という.

角度の拡張

角度の拡張

固定された図形にあらわれる角度の大きさは,$0^\circ$から$360^\circ$である. この視点で見れば,時計の1時の長針と2時30分の長針のなす角度は$180^\circ $であり,1時の長針と3時30分の長針のなす角度も$180^\circ$である. しかし,時刻の変化に伴う長針の回転量は,前者と後者では明らかに異なる. また,長針を1時から10分進めても,10分戻してもどちらも$60^\circ$回転するが,向きは逆である.

これらの点を考慮できるように$360^\circ$以上の角や,回転の向きを考えた角を導入することにしよう.

1) $360^\circ$以上の角度

角度の拡張の図その1

動点$\text{P}$は(反時計回りに)1周より多く動いてもよいとする. たとえば,図では,$\text{P}$が反時計回りに1周と$60^\circ$回転しているので, $\angle{\text{POX}}=360^\circ+60^\circ=420^\circ$と考える.

2) 負の角度

動点$\text{P}$は,$\text{X}$から時計回りに動いてもよいとし,この場合は$\angle{\text{POX}}$を負の値で定める. たとえば,図では,$\text{P}$が時計回りに$120^\circ$回転しているので, $\angle{\text{POX}}=-120^\circ$と考える.

これらのように,$360^\circ$以上回転する場合や,回転の向きも考えた角を 一般角(general angle) という.

また,一般角$\theta$に対して,始線$\text{OX}$から角$\theta$だけ回転した位置にある動径$\text{OP}$を, $\theta$の動径という.

角度の拡張の図その2

一般角の練習〜その1〜

次の図の$\theta$を一般角で表せ.

  1. 一般角の練習〜その1〜の図その1
  2. 一般角の練習〜その1〜の図その2
  3. 一般角の練習〜その1〜の図その3

  1. 動径$\text{OP}$は,反時計回りに1周と$120^\circ$進んだので

    \begin{align} \theta=360^\circ+120^\circ=\boldsymbol{480^\circ} \end{align}
  2. 動径$\text{OP}$は,反時計回りに2周と$210^\circ$進んだので

    ←$360^\circ-150^\circ=210^\circ$

    \begin{align} \theta=360^\circ\times2+210^\circ=\boldsymbol{930^\circ} \end{align}
  3. 動径$\text{OP}$は,時計回りに$300^\circ$進んだので

    ←$360^\circ-60^\circ=300^\circ$

    \begin{align} \theta=\boldsymbol{-300^\circ} \end{align}

一般角の練習〜その2〜

次の角の動径を図示せよ.

  1. $150^\circ$
  2. $390^\circ$
  3. $-90^\circ$
  4. $-690^\circ$

動径の表す角

無題

無題

動径の表す角

動径は$360^\circ$回転するともとの位置に戻るので, たとえば,$60^\circ$の動径は,図のように

\begin{align} &420^\circ~(~=60^\circ+360^\circ)\\ &780^\circ~(~=60^\circ+360^\circ\times2)\\ &-300^\circ~(~=60^\circ-360^\circ) \end{align}

などの角の動径と同じ位置にくる. すなわち,$60^\circ+360^\circ\times n$($n$は整数)の動径はすべて同じ位置にくる. これらの角を動径$\text{OP}$の表す角という.

一般に,次のことがいえる.

動径の表す角

動径$\text{OP}$と始線$\text{OX}$のなす角の1つを$\alpha$とすると,動径$\text{OP}$の表す角$\theta$は

\begin{align} \theta=\alpha+360^\circ\times n \end{align} ($n$は整数)

のようにあらわされる.

動径の表す角

次の角の動径を$\text{OP}$とするとき,動径$\text{OP}$の表す角を

\begin{align} \alpha+360^\circ\times n \end{align} ($n$は整数)

の形で表せ.ただし,$0^\circ\leqq\alpha<360^\circ$とする.

  1. $420^\circ$
  2. $1450^\circ$
  3. $-80^\circ$
  4. $-895^\circ$

  1. $420^\circ=360^\circ\times1+60^\circ$なので$\boldsymbol{60^\circ+360^\circ\times n}$
  2. $1450^\circ=360^\circ\times4+10^\circ$なので$\boldsymbol{10^\circ+360^\circ\times n}$
  3. $-80^\circ=360^\circ\times(-1)+280^\circ$なので$\boldsymbol{280^\circ+360^\circ\times n}$
  4. $-895^\circ=360^\circ\times(-3)+185^\circ$なので$\boldsymbol{185^\circ+360^\circ\times n}$