実数が係数である方程式の共役解

2次方程式の場合

2次方程式$x^2 + 2x + 3 = 0$は

\begin{align} &x^2+2x+3=0\\ \Leftrightarrow~&x=-1\pm\sqrt{11}i \end{align}

と解け，共役な複素数である$-1+\sqrt{11}i$と$-1-\sqrt{11}i$を解にもつのがわかる．

$a_2，a_1，a_0$を実数とするとき，これらを係数とする2次方程式

\begin{align} a_2x^2+a_1x+a_0=0 \end{align}

は

\begin{align} x=\dfrac{-a_1\pm\sqrt{{a_1}^2-4a_2a_0}}{2a_2} \end{align}

と解けるので，判別式${a_1}^2-4a_2a_0$の値が負であるとき，共役な複素数である

\begin{align} \dfrac{-a_1+\sqrt{4a_2a_0-{a_1}^2}i}{2a_2}\end{align}と\begin{align}\dfrac{-a_1-\sqrt{4a_2a_0-{a_1}^2}i}{2a_2} \end{align}

を解にもつことがわかる．

判別式の値が負のとき，2次方程式が共役な複素数を解にもつことは， ，次のような方法で示すこともできる．

$a_2，a_1，a_0$を実数とするとき，これらを係数とする2次方程式

\begin{align} a_2x^2+a_1x+a_0=0 \end{align} $\tag{1}\label{2zihouteisikinobaai1}$

が$x = \alpha$という複素数解をもつとすると， $\eqref{2zihouteisikinobaai1}$に$\alpha$を代入して

\begin{align} &a_2\alpha^2+a_1\alpha+a_0=0 \end{align} $\tag{2}\label{2zihouteisikinobaai2}$

が成り立つ．

いま，$\eqref{2zihouteisikinobaai1}$ の左辺に$x=\overline{\alpha}$を代入してみると

\begin{align} &a_2\overline{\alpha}^2+a_1\overline{\alpha}+a_0 \end{align} \begin{align} &=a_2\overline{\alpha^2}+a_1\overline{\alpha}+a_0 \end{align} ←共役な複素数の性質 \begin{align} &=\overline{a_2}\ \overline{\alpha^2}+\overline{a_1}\ \overline{\alpha}+\overline{a_0} \end{align} ←複素数の実数条件と純虚数条件 \begin{align} &=\overline{a_2\alpha^2}+\overline{a_1\alpha}+\overline{a_0} \end{align} ←共役な複素数の性質 \begin{align} &=\overline{a_2\alpha^2+a_1\alpha+a_0} \end{align} ←共役な複素数の性質 \begin{align} &=0 \end{align} ←$\eqref{2zihouteisikinobaai2}$より

となるので，$\eqref{2zihouteisikinobaai1}$は共役な複素数解$x=\overline{\alpha}$をもつ．

3次方程式の場合

暗記実数係数の3次方程式の共役複素数解

$a_3，a_2，a_1，a_0$を実数とするとき，これらを係数とする3次方程式

\begin{align} a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0 \end{align} $\tag{1}\label{zissuukeisuuno3zihouteiesikinokyouyakuhukusuukai}$

が$x = \alpha$という複素数解をもつとき，共役な複素数$x=\overline{\alpha}$も解にもつことを証明せよ．

$\eqref{zissuukeisuuno3zihouteiesikinokyouyakuhukusuukai}$が$x = \alpha$という複素数解をもつとすると，

$\eqref{zissuukeisuuno3zihouteiesikinokyouyakuhukusuukai}$に$\alpha$を代入して

\begin{align} &a_3\alpha^3+a_2\alpha^2+a_1\alpha+a_0=0 \end{align} $\tag{2}\label{zissuukeisuuno3zihouteiesikinokyouyakuhukusuukainokaitou}$

が成り立つ．

いま，$\eqref{zissuukeisuuno3zihouteiesikinokyouyakuhukusuukai}$の左辺に$x=\overline{\alpha}$を代入してみると

$a_3\overline{\alpha}^3+a_2\overline{\alpha}^2+a_1\overline{\alpha}+a_0$

$=a_3\overline{\alpha^3}+a_2\overline{\alpha^2}+a_1\overline{\alpha}+a_0 \blacktriangleleft$共役な複素数の性質

$=\overline{a_3}\ \overline{\alpha^3}+\overline{a_2}\ \overline{\alpha^2}+\overline{a_1}\ \overline{\alpha}+\overline{a_0} \blacktriangleleft$複素数の実数条件と純虚数条件

$=\overline{a_3\alpha^3}+\overline{a_2\alpha^2}+\overline{a_1\alpha}+\overline{a_0} \blacktriangleleft$共役な複素数の性質

$=\overline{a_3\alpha^3+a_2\alpha^2+a_1\alpha+a_0} \blacktriangleleft$共役な複素数の性質

$=0 \blacktriangleleft\eqref{zissuukeisuuno3zihouteiesikinokyouyakuhukusuukainokaitou}$ より

となるので，$\eqref{zissuukeisuuno3zihouteiesikinokyouyakuhukusuukai}$は共役な複素数解$x=\overline{\alpha}$をもつのがわかる．

一般に次のことがいえる．

実数係数の$n$次方程式の共役複素数解

係数がすべて実数である$n$次方程式$P(x) = 0$が，$x = \alpha$という複素数の解をもつ，すなわち

\begin{align} P(\alpha)=0 \end{align}

であるとき，$P(x) = 0$は共役な複素数$x=\overline{\alpha}$を解にもつ，すなわち

\begin{align} P(\overline{\alpha})=0 \end{align}

である．

吹き出し3次方程式の場合

以上は係数が実数の場合でしか成り立たない． たとえば，$x^2-2ix+5=0$,のように，虚数を係数にもつ方程式ではこのようなことはいえないので注意しよう．

実数係数の$n$次方程式の共役複素数解

実数係数の3次方程式

\begin{align} x^3+ax^2+bx+6=0 \end{align} $\tag{1}\label{zissuukeisuunonzihouteisikikyouyakuhukusosuukai}$

が$x=1+\sqrt{2}i$を解にもつとき，実数$a，b$の値と他の解を求めよ．

$\eqref{zissuukeisuunonzihouteisikikyouyakuhukusosuukai}$が$x=1+\sqrt{2}i$を解にもつとき，それと共役な

複素数$1-\sqrt{2}i$も解にもつ.　　　　　$\blacktriangleleft$実数係数の$n$次方程式の共役複素数解を使った

よって，$\eqref{zissuukeisuunonzihouteisikikyouyakuhukusosuukai}$は

\begin{align} &\left\{x-(1+\sqrt{2}i)\right\}\left\{x+(1-\sqrt{2}i)\right\}\\ =&x^2-2x+3 \end{align}

で割り切れるから

\begin{align} x^3+ax^2+bx+6=(x^2-2x+3)(x+c) \end{align}

とおける．右辺を展開すると

\begin{align} (x^2-2x+3)(x+c)=&x^3+(-2+p)x^2\\ &+(3-2p)x+3p \end{align}

となるので，係数を比較すると

\begin{align} \begin{cases} a=-2+p\\ b=3-2p\\ 6=3p \end{cases}\Leftrightarrow~ \begin{cases} p=2\\ \boldsymbol{a=0}\\ \boldsymbol{b=-1} \end{cases} \end{align}

他の解は，$\boldsymbol{x=1-\sqrt{2}i,~-2}$．

【別解：『3次方程式の解と係数の関係』を使う】

$\eqref{zissuukeisuunonzihouteisikikyouyakuhukusosuukai}$が$x=1+\sqrt{2}i$を解にもつとき，それと共役な 複素数$1-\sqrt{2}i$も解にもつ. $\blacktriangleleft$実数係数の$n$次方程式の共役複素数解を使った

$\alpha=1+\sqrt{2}i,\beta=1-\sqrt{2}i$とおき，残りひとつの解を$\gamma$とすると3次方程式の解と係数の関係より

\begin{align} &\begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=-a\\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b\\ \alpha\beta\gamma=-6 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~&\begin{cases} \left(1+\sqrt{2}i\right)+\left(1-\sqrt{2}i\right)+\gamma=-a\\ \left(1+\sqrt{2}i\right)\left(1-\sqrt{2}i\right)\\ +\left\{\left(1+\sqrt{2}i\right)+\left(1-\sqrt{2}i\right)\right\}\gamma=b\\ \left(1+\sqrt{2}i\right)\left(1-\sqrt{2}i\right)\gamma=-6 \end{cases}\\ \Leftrightarrow~&\begin{cases} 2+\gamma=-a\\ 3+2\gamma=b\\ 3\gamma=-6 \end{cases} \end{align}

これを解くと，$\gamma=-2\,，\boldsymbol{a=0},\boldsymbol{b=-1}$となる．

他の解は，$\boldsymbol{x=1-\sqrt{2}i,~-2}$．