等式の証明について

等式の証明を考える

恒等式 $A = B$ を証明するには， $A$ か $B$ の一方を変形して，他方を導けばよい．

たとえば

\[(x^2+x+1)(x^2-x+1)\] \[=x^4+x^2+1\]

を証明するには

\begin{eqnarray} \text{(左辺)}&=&(x^2+x+1)(x^2-x+1)\\ &=&x^4-x^3+x^2+x^3\\ &&-x^2+x+x^2-x+1\\ &=&x^4+x^2+1\\ &=&\text{(右辺) } \end{eqnarray}

とすればよい．

しかし，問題によっては $A = B$ と同値である

  1. $A = C$ かつ $B = C$
  2. $A − B = 0$

などの等式を証明する方が簡単なときもあるので，適宜使い分ける．

等式の証明〜その1〜

以下の等式を証明せよ．

  1. $(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$
  2. $(a^2-b^2)(c^2-d^2)$
    $=(ac+bd)^2-(ad+bc)^2$
  3. $(x^3+1)(x^2+x+1)$
    $=(x+1)(x^4+x^2+1)$

  1. 左辺を展開し整理すると

    （左辺）

    \begin{eqnarray} &&=x^2+2xy＋y^2-(x^2-2xy+y^2)\\ &&=4xy= \end{eqnarray}

    (右辺)

    となる．

  2. 両辺をそれぞれ展開し整理すると

    (左辺)

    \[=a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2\]

    (右辺)

    \begin{eqnarray} &&=a^2c^2+2abcd+b^2d^2\\ &&\qquad\qquad-(a^2d^2+2abcd+b^2c^2)\\ &&=a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2 \end{eqnarray}

    よって，(左辺) $=$ 右辺)がいえる．

    ←「 $A = C$ かつ $B = C$ 」ならば「 $A = B$ 」という論法を使った}

  3. 左辺を変形して

    (左辺)

    \begin{eqnarray} &&=(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)\\ &&=(x+1)\{(x^2+1)^2-x^2\}\\ &&=(x+1)(x^4+x^2+1)= \end{eqnarray}

    (右辺)

    となる．

等式の証明〜その2〜

以下の等式を証明せよ．

  1. $\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{2x}{x^2-4}$
  2. $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}$
    $\qquad=\dfrac{1-xy}{(x+1)(y+1)}+1$
  3. $\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}$
    $\qquad+\dfrac{x}{(x+2)(x+3)}=\dfrac{2}{x+3}$

  1. 左辺を通分して計算していくと

    (左辺)

    $=\dfrac{x-2}{(x+2)(x-2)}+\dfrac{x+2}{(x+2)(x-2)}$

    $=\dfrac{x-2+x+2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{2x}{x^2-4}=$

    (右辺)

    となる．

  2. 両辺をそれぞれ通分して計算していくと

    (左辺)

    $=\dfrac{y+1}{(x+1)(y+1)}+\dfrac{x+1}{(x+1)(y+1)}$

    $=\dfrac{x+y+2}{(x+1)(y+1)}$

    (右辺)

    $=\dfrac{1-xy}{(x+1)(y+1)}+\dfrac{(x+1)(y+1)}{(x+1)(y+1)}$

    $=\dfrac{1-xy+xy+x+y+1}{(x+1)(y+1)}$

    $=\dfrac{x+y+2}{(x+1)(y+1)}$

    よって，(左辺) $=$ (右辺)がいえる．

  3. 左辺を通分して計算していくと

    (左辺)

    $=\dfrac{2x+6}{(x+2)(x+3)}-\dfrac{x+2}{(x+2)(x+3)}$
    $\qquad+\dfrac{x}{(x+2)(x+3)}$

    $=\dfrac{2x+4}{(x+2)(x+3)}$

    $=\dfrac{2(x+2)}{(x+2)(x+3)}=\dfrac{2}{x+3}=$

    (右辺)

    となる．

条件つきの等式の証明

等式の中には，恒等式ではないが，ある条件のもとではつねに成り立つ等式がある．

たとえば， $a^2 − 2b^2 = ab$ は恒等式ではない（ $a = b = 1$ を考えてみよ）． しかし，$a + b = 0$ という条件の下では常に成り立つ． これを証明するには，条件 $a + b = 0$ から $b = − a$ が成り立つことを利用して

（左辺） $= a^2 − 2( − a)^2 = − a^2$

（右辺） $= a( − a) = − a^2$

より，（左辺）$=$（右辺）とすればよい．

一般に，ある条件のもとで成り立つ等式を証明するには，その条件式を証明すべき式に代入すればよい． そのことを次の例題で学んでいこう．

条件つきの等式の証明-その1-

次の等式を証明せよ．

  1. $a + b = 0$ のとき， $ab + a^2 = 0$
  2. $a + b = 0$ のとき， $a^2 − 2b^2 = ab$
  3. $ x + y = 1$ のとき，
    $\qquad x^2 + y^2 + 1 = 2(x + y − xy)$

  1. 左辺を変形すると

    　　（左辺）$ = a(a + b) = 0$ 　　　　　　　　　 $\blacktriangleleft a+b=0$ を使った

    　よって，（左辺） $=$ （右辺）がいえる．

  2. $a + b = 0$より，$b = − a$ なので

    　　（左辺）$=a^2 − 2( − a)^2 = − a^2$ 　　　　　　 $\blacktriangleleft b=-a$ を使った

    　　（右辺） $= a( − a) = − a^2$

    　よって，（左辺） $=$ （右辺）がいえる．

  3. $x + y = 1$ より，$y = 1 − x$ なので

    　　（左辺） $= x^2 + (1 − x)^2 + 1$ 　　　　　　　　 $\blacktriangleleft y=1-x$ を使った

    　 　　　 $= x^2 + 1 − 2x + x^2 + 1 = 2(x^2 − x + 1)$

    　　（右辺）$=2{x + (1 − x) − x(1 − x)}$ 　　　　　　 $\blacktriangleleft y=1-x$ を使った

    $= 2(x + 1 − x − x + x^2) $
    $= 2(x^2 − x + 1)$

    　　よって，（左辺） $=$ （右辺）がいえる．

条件つきの等式の証明-その2-

次の等式を証明せよ．

  1. $xy = 1$ のとき，
    $\qquad\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{1}{x}\right)=4$
  2. $x+\dfrac{1}{x}=3$ のとき，
    $\qquad x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$
  3. $xyz = 1$ のとき，
    $\qquad\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=x+y+z$

  1. $xy = 1$ より，$x\neq 0$ であるから，$y=\dfrac{1}{x}$ と変形できる．

    これを左辺にもちいると

    （左辺） $=\left(x+x\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\right)$

    　 　　　 $=2x\cdot\dfrac{2}{x}$

    　　　　　 $=4=$ （右辺） となる．

  2. $x+\dfrac{1}{x}=3$ を左辺にもちいると

    （左辺） $=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2\cdot x\cdot \dfrac{1}{x}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ という変形を使った

    　　 　　 $=3^2-2=7$ 　　　　　　　　　　　　 $\blacktriangleleft x+\dfrac{1}{x}=3$ を使った

    より，（左辺） $=$ （右辺）である．

  3. $xyz = 1$ より， $z=\dfrac{1}{xy}$ なので

    （左辺） $=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{y\cdot\dfrac{1}{xy}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{xy}\cdot x}$

    　　　　 $=\dfrac{1}{xy}+x+y$

    　　　 　 $=x+y+z=$ （右辺） 　　　 $\blacktriangleleft z=\dfrac{1}{xy}$ を使った

    となる．

比例式を条件にもつ等式の証明

$a:b = x:y$ の定義は $bx = ay$ である． 特に $x，y$ が $0$ でないとき，$\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$ と変形できる． この $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$ のように，比の値が等しいことを示す式を比例式(proportional expression)という．

比例式を条件とする場合には，比の値を $k$，すなわち$ \dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=k$ などとおき， $a = xk$ かつ $b = yk$ の形で利用すると計算しやすい．

また

\[a:b:c=x:y:z\]

を， $a，b，c$ の連比(continued ratio)といい， $a:b = x:y$ かつ $b:c = y:z$ かつ$c:a = z:x$ ，すなわち

$bx = ay $ かつ $cy = bz$ かつ $ az = cx$

と定義する． こちらの場合も， $x，y，z$ が $0$ でないとき，$\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$ と変形できる．

比例式を条件にもつ等式の証明

$0$ でない実数 $a,~b,~c,~d,~x,~y,~z$ において，次の等式を証明せよ．

  1. $a:b = c :d$ のとき，
    $\qquad\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\left(\dfrac{b}{d}\right)^2$
  2. $a:b = c :d$ のとき，
    $\qquad\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{ac}{bd}$
  3. $a:b:c = x :y :z$ のとき，
    $\qquad\dfrac{a^2+b^2+c^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{ab+bc+ca}{xy+yz+zx}$

  1. $a = ck，b = dk$ とおくと　　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 比例式の利用

    （左辺） $=\dfrac{c^2k^2+d^2k^2}{c^2+d^2}$ 　 　　　 $\blacktriangleleft a = ck，b = dk$ を使った

    $=\dfrac{k^2(c^2+d^2)}{c^2+d^2}=k^2$

    $=\dfrac{d^2k^2}{d^2}=k^2$

    より，（左辺） $=$ （右辺）である．

  2. $a = ck，b = dk$ とおくと　　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 比例式の利用

    （左辺）= $\dfrac{c^2k^2+c^2}{d^2k^2+d^2}$ 　　　　　　　　 $\blacktriangleleft a = ck，b = dk$ を使った

    $=\dfrac{c^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}=\dfrac{c^2}{d^2}$

    （右辺）$=\dfrac{c^2k}{d^2k}=\dfrac{c^2}{d^2}$ 　　　　　　　　　　　 　 $ \blacktriangleleft a = ck，b = dk$ を使った

    より，（左辺） $=$ （右辺）である．

  3. $a = xk，b = yk，c = zk$ とおくと 　　　　　　　$\blacktriangleleft$ 比例式の利用

    （左辺）= $\dfrac{x^2k^2+y^2k^2+z^2k^2}{x^2+y^2+z^2}$ 　　　　 $\blacktriangleleft a = xk，b = yk，c = zk$ を使った

    　　 $=\dfrac{k^2(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}=k^2$

    （右辺） $=\dfrac{xyk^2+yzk^2+xzk^2}{xy+yz+zx}$ 　　　　 $ \blacktriangleleft a = xk，b = yk，c = zk$ を使った

    $=\dfrac{k^2(xy+yz+xz)}{xy+yz+zx}=k^2$

    より，（左辺） $=$ （右辺）である．