座標と三角比の関係

単位円

単位円

単位円

座標平面上の原点 $\text{O}$ を中心とする半径 $1$ の円を単位円 (unit circle) という。

三角比は、この単位円を用いて($90^\circ$ 以上に)拡張される。

三角比の拡張について

(注)

三角比の定義を、斜辺が $1$ である直角三角形 $\text{OPQ}$ において考えてみよう。

斜辺の長さが $1$ である直角三角形

斜辺の長さが $1$ である直角三角形

すると、正弦、余弦、正接はそれぞれ \begin{align} \sin{\theta}=&\dfrac{\text{PQ}}{\text{OP}}=\text{PQ}\\ \cos{\theta}=&\dfrac{\text{OQ}}{\text{PO}}=\text{OQ}\\ \tan{\theta}=&\dfrac{\text{QP}}{\text{OQ}}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \end{align} と書ける。つまり、斜辺の長さが $1$ である直角三角形では
「対辺の長さは $\sin\theta$ の値を表し、底辺の長さは $\cos\theta$ の値を表す」
ことがわかる。

直角三角形を単位円の中に描く

直角三角形を単位円の中に描く

この $\triangle{\text{OPQ}}$ を、図のように単位円の(上半分の)中に描いてみよう。そのようにすれば、

  • $\text{P}$ の $x$ 座標が $\cos\theta$
  • $\text{P}$ の $y$ 座標が $\sin\theta$
となる。

このように、「単位円周上の点の座標」として三角比をとらえなおすと、角度が鋭角でなくても三角比を考えることができる。そこで、$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ の範囲にある角 $\theta$ の三角比を、次のように定義しなおそう。

三角比の拡張

三角比の拡張

三角比の拡張

点 $\text{O}$ を原点とする座標平面上に単位円の上半分をとり、その周上に一点 $\text{P}$ をとる。

$x$ 軸の正の部分 $\text{OX}$ に対し、$\angle\text{POX}$ を $\theta(0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ)$ とするとき \begin{align} &\cos\theta=(点\text{P}のx座標)\\ &\sin\theta=(点\text{P}のy座標)\\ &\tan\theta=\dfrac{(点\text{P}のy座標)}{(点\text{P}のx座標)}=(直線\text{OP}の傾き) \end{align} とする。

ただし、点 $\text{P}$ の $x$ 座標が $0$ のとき、つまり $\theta=90^\circ$ のときは $\tan\theta$ を定義しない。

たとえば、$\theta$ が鈍角のときは次のようになる。

  1. 例:$120^\circ$ の三角比
    $120^\circ$ の三角比を表す図
    図より、 \begin{align} \cos120^\circ&=-\dfrac{1}{2}\\ \sin120^\circ&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan120^\circ&=-\sqrt{3} \end{align} ($\triangle{\text{OPQ}}$ が $\text{QO}:\text{OP}:\text{PQ}=1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形であることに注意しよう。)
  2. 例:$180^\circ$ の三角比
    $180^\circ$ の三角比を表す図
    図より、 \begin{align} \cos180^\circ&=-1\\ \sin180^\circ&=0\\ \tan180^\circ&=0 \end{align}

三角比の値のまとめ

(注)

角度が $0^\circ$、$30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$、$120^\circ$、$135^\circ$、$150^\circ$、$180^\circ$ の場合の三角比は、頭の中で次のような図を思い描き、素早く求められるようになろう。

$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ までの三角比

$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ までの三角比

有名角の三角比

上の図をもとに下の表を完成させよ。

$\theta$$0^\circ$$30^\circ$$45^\circ$$60^\circ$$90^\circ$$120^\circ$$135^\circ$$150^\circ$$180^\circ$
$\sin\theta$
$\cos\theta$
$\tan\theta$

$\theta$$0^\circ$$30^\circ$$45^\circ$$60^\circ$$90^\circ$
$\sin\theta$$0$$\dfrac{1}{2}$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$1$
$\cos\theta$$1$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$\dfrac{1}{2}$$0$
$\tan\theta$$0$$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$1$$\sqrt{3}$なし
$\theta$$120^\circ$$135^\circ$$150^\circ$$180^\circ$
$\sin\theta$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$\dfrac{1}{2}$$0$
$\cos\theta$$-\dfrac{1}{2}$$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$-1$
$\tan\theta$$-\sqrt{3}$$-1$$-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$0$

三角比を含む方程式と不等式

三角比を含む方程式

以下の式を満たす $\theta$ を求めよ。ただし $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ とする。

  1. $\cos\theta =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  2. $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
  3. $\tan\theta=-\sqrt{3}$
  4. $\sin\theta=1$

  1. 1の図

    図のように、上半分の単位円周上において、$x$ 座標が $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である点を取る。

    このとき、$\triangle{\text{OPQ}}$ は辺の長さが $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形なので \[\angle{\text{POQ}}=30^\circ\] つまり、$\theta=180^\circ-30^\circ=\boldsymbol{150^\circ}$。

  2. 2の図

    図のように、上半分の単位円周上において、$y$ 座標が $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ である点を取る。

    そのような点は2つ存在し、$\triangle{\text{OPQ}}$、$\triangle\text{OP'Q'}$ とも 直角二等辺三角形であるので \[\angle{\text{POQ}}=45^\circ~,~\angle\text{P'OQ'}=45^\circ\] つまり、$\boldsymbol{\theta=45^\circ}$、または、$\theta=180^\circ-45^\circ=\boldsymbol{135^\circ}$。

  3. 3の図

    動径の傾きが $\tan$ に一致するので、図のように、傾き $-\sqrt{3}$ の直線を引く。

    $\triangle{\text{OPQ}}$ は辺の長さが $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形なので \[\angle{\text{OPQ}}=60^\circ\] つまり、$\theta=180^\circ-60^\circ=\boldsymbol{120^\circ}$。

  4. 4の図

    上半分の単位円周上において、$y$ 座標が $1$ である点を取ればよい。

    このとき、図より、$\boldsymbol{\theta=90^\circ}$。

吹き出し三角比を含む方程式と不等式

有名角の三角比に限れば、三角比から角度を求めるときと、角度から三角比を求めるときに重要なことは、次のことに限られる。

つまり、条件に合うよう単位円と動径を描き、うまく垂線を引いて

  • 3辺の長さが $1,~\dfrac{\sqrt{2}}{2},~\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ の直角三角形を作ることができる。
  • 3辺の長さが $1,~\dfrac{\sqrt{3}}{2},~\dfrac{1}{2}$ の直角三角形を作ることができる。
  • 直角三角形を作る必要はない。
のいずれに当てはまるかを判断することである。

三角比を含む不等式

以下の式を満たす $\theta$ を求めよ。ただし $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ とする。

  1. $\cos\theta\leqq-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  2. $\sin\theta\gt\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
  3. $\tan\theta\gt-\sqrt{3}$

  1. 1の図
    上半分の単位円周上において \[(x座標の値)\leqq-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\] であればよい。そのようになるのは、図の太線部分であるので $\boldsymbol{150^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ}$。
  2. 2の図
    上半分の単位円周上において \[(y座標の値)\gt\dfrac{\sqrt{2}}{2}\] であればよい。そのようになるのは、図の太線部分であるので $\boldsymbol{45^\circ\lt\theta\lt135^\circ}$。
  3. 3の図
    上半分の単位円周上において \[(動径の傾き)\gt-\sqrt{3}\] であればよい。そのようになるのは、図の太線部分であるので $\boldsymbol{0^\circ\leqq\theta\lt90^\circ,120^\circ\lt\theta\leqq180^\circ}$。