ベクトルの正射影

ベクトルのなす角の定義

ベクトルのなす角その1

ベクトルのなす角その1

$\vec{0}$ でない2 つの $\vec{a},\vec{b}$ に対して,点 $\text{O}$ を始点として

\[\vec{a} =\overrightarrow{\text{OA}},~\vec{b} =\overrightarrow{\text{OB}}\]

となるように点 $\text{A},\text{B}$ をとる.このとき,$\angle \text{AOB}$ の大きさ $\theta$ は,$\vec{a},\vec{b}$ によって決まる.この $\theta$ を,$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角(included angle) という.

ベクトルのなす角その2

ベクトルのなす角その2

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は,$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が同じ向きのときは $0^\circ$ であり,$\vec{a}$ と $\vec{b}$ 向きがすれるにつれだんだん大きくなり,$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が開ききって互いに逆向きとなるとき $180^\circ$ となる.

ベクトルのなす角その3

ベクトルのなす角その3

それ以上ベクトルが開いたときには,角度の狭いほうをなす角とするので,$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の取り得る範囲は $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ となる.

ベクトルの正射影と有向距離

(注)

ベクトルの正射影と有向距離の図その1

$\vec{0}$ でない2 つの$\vec{a},\vec{b}$ に対して,点$\text{O}$ を始点として

\[\vec{a} =\overrightarrow{\text{OA}} , \vec{b} =\overrightarrow{\text{OB}}\]

となるように点$\text{A},\text{B}$ をとる.

いま,右図の点$\text{B}$ からから直線$\text{OA}$ に下ろした垂線の足を$\text{H}$ とする.このとき,$\overrightarrow{\text{OH}}$を$\vec{b}$ の$\vec{a}$ への正射影(orthogonal projection) ベクトルといい$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ と表す.正射影ベクトル$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ は,$\vec{a},\vec{b}$ とそのなす角$\theta$を用いて次のように表すことができる.

  1. $\boldsymbol{0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ}$ のとき

    ベクトルの正射影と有向距離の図その2
    \begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &= \dfrac{\text{OH}}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}} \\ &= \dfrac{\text{OB}\cos \theta}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &=\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a} \end{align}



  2. ベクトルの正射影と有向距離の図その3
  3. $\boldsymbol{90^\circ < \theta \leqq 180^\circ}$ のとき

    \begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &= − \dfrac{\text{OH}}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}} \\ &= −\dfrac{\text{OB} \cos(180^\circ − \theta)}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &=\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a} \end{align}

つまり,$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ で$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} =\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}$と表せる.この$\left|\vec{b}\right| \cos \theta$の値のことを,$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$の有向距離または符号付長さという.

なお,$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ の大きさは

\[\left|_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}\right| =\left|\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}\right|\] \[=\dfrac{\left|\vec{b} \cos \theta\right|}{\left|\vec{a}\right|}\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b} \cos \theta\right|\]

で表される.

【例】

ベクトルの正射影と有向距離の図その4

ますめの一辺の長さが1 の右図において

  1. $_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$4$
  2. $_{\vec{c}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$4$
  3. $_{\vec{d}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$0$
  4. $_{\vec{e}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$−2$
  5. $_{\vec{f}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$−4$

となる.