数学II 第6章 微分法 — 微分係数と導関数

平均変化率

平均変化率について

平均の速度で見たように、 グラフ上の2点を通る直線の傾きは平均速度を意味していた。ここでは グラフに限ることなく、一般の関数 について、この平均速度にあたるものを考えてみよう。

関数 において、 の値が から まで変化するとき を の増分 (increment of x) といい と表し を の増分 (increment of y) といい と表す。

注 はアルファベットのDに相当するギリシア文字であり、差 (difference) の頭文字をとったものである。

また、 の増分に対する の増分の割合 のことを、 の値が から まで変化するときの の平均変化率 (average rate of change) という。

注 これは中学校やFTEXT 数学Iで学んだ変化の割合と同じものである

これは図の直線 の傾きを表す。

平均の速度 とは、 グラフにおける平均変化率のことであるといいかえられる。

微分係数と接線

微分係数の定義

瞬間の速度 で見たように、瞬間速度は平均速度 の を限りなく に近づけるときの極限値、つまり として与えられた。ここでも グラフに限ることなく、一般の関数 について、この瞬間速度にあたるものを考えてみよう。

関数 において、 、 とすると、 からある まで変化するときの平均変化率は である。

ここで、 を限りなく に近づけることにより は限りなく に近づき、このときこの平均変化率 の値が、ある決まった値に近づくならば、その極限値を関数 の における微分係数 (differential coefficient) といい、 と表す。つまり と定義する。

微分係数の定義の別法

また、 、つまり とおくと、 であるから であり、 を に近づけることは を に近づけることに等しいから、微分係数 は と表すこともできる。

まとめると次のようになる。

導関数

導関数とは何か

導関数の表し方

関数 の導関数の表し方にはいくつかあり、 の他にも や や で表すこともある。

は、 の増分 を 、 の増分 を としたとき と書けることに由来する。 は「ディーエックスぶんのディー・ワイ」ではなく「ディーワイ、ディーエックス」と読む。

たとえば、 の導関数は などと表す。

また、 の関数 から導関数 を求めることを、 を について微分 (differential) するという。関数を微分した結果を示すのに と書くこともある。

の導関数

『導関数を求める』の例題から、 、 、 がわかった。このことより、 が自然数のとき が推測できる。