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極限

この節では、瞬間の速度で学んだ考え方を、関数を利用することにより、より一般的に見ていくことにしよう。

極限の定義

極限の定義について

極限の定義

関数 f(x) において、xa と異なる値をとりながら a に限りなく近づくとき、f(x) が定数αアルファに限りなく近づくならば lim または f(x)\to\alpha~(x\to{a}) と書き、この値 \alpha のことを、x{\to}a のときの f(x)極限値 (limit value) という。

また、f(x) は限りなく \alpha に近づくという意味で
x\to{a} のとき、f(x)\alpha収束 (convergence)する
ということもある。

極限の考え方の基本~例1~

ここで、例として f(x)=2x+1 において \displaystyle\lim_{x\to1}f(x) がいくつになるのか考えてみよう。

たとえば、x0.9 からスタートして、0.99,0.999,0.9999,\cdots1 に近づけていくと \begin{align} &f(0.9)=2\times0.9+1=2.8\\ &f(0.99)=2\times0.99+1=2.98\\ &f(0.999)=2\times0.999+1=2.998\\ &f(0.9999)=2\times0.9999+1=2.9998 \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

x0.90.990.9990.9999\cdots
f(x)2.82.982.9982.9998\cdots
この表を右に続けていく、つまり x1 に近づけていくと、f(x) の値は 3 に近づいていくことがわかる。

また、x1.5 からスタートして、1.25,1.125,1.0625,\cdots と、距離を半分ずつつめながら 1 に近づけていくと \begin{align} &f(1.5)=2\times1.5+1=4\\ &f(1.25)=2\times1.25+1=3.5\\ &f(1.125)=2\times1.125+1=3.25\\ &f(1.0625)=2\times1.0625+1=3.125 \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

x1.51.251.1251.0625\cdots
f(x)43.53.253.125\cdots
この表からも、x1 に近づけると、f(x)3 に近づくことがわかる。

以上2つの例からわかるように \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=3 であるといえる。

この結果は、図の y=f(x) のグラフから明らかであろう。

また、ここで f(1)=3 であるから、結果として \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=f(1) となっていることがわかる。

(注)

一般に、この f(x)=2x+1 のように、y=f(x) のグラフが x=a で途切れていないとき、\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x) の値は \displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=f(a)\tag{1}\label{kyokugennokangaekatanokihonrei1} となる。このことを知っていれば、上で調べたようにわざわざ表を作って考察しなくても、すぐに極限値を求めることができる。

極限の考え方
極限の考え方

しかし、次の例のように、関数 y=f(x) のグラフの形がすぐにはわからないようなときには、グラフが途切れている可能性が あるので、極限値を求めるのに注意を要する。

極限の考え方の基本~例2~

では、その例として、g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1} において \displaystyle\lim_{x\to1}~g(x) がいくつになるのか考えてみよう。

たとえば x0.9 からスタートして、0.99,0.999,0.9999,\cdots1 に近づけていくと \begin{align} g(0.9)&=\dfrac{0.9^2-1}{0.9-1}\\ &=\dfrac{(0.9-1)(0.9+1)}{0.9-1}=1.9\\ g(0.99)&=\dfrac{0.99^2-1}{0.99-1}\\ &=\dfrac{(0.99-1)(0.99+1)}{0.99-1}=1.99\\ g(0.999)&=\dfrac{0.999^2-1}{0.999-1}\\ &=\dfrac{(0.999-1)(0.999+1)}{0.999-1}\\ &=1.999\\ g(0.9999)&=\dfrac{0.9999^2-1}{0.9999-1}\\ &=\dfrac{(0.9999-1)(0.9999+1)}{0.9999-1}\\ &=1.9999 \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

x0.90.990.9990.9999\cdots
f(x)1.91.991.9991.9999\cdots
この表を右に続けていく、つまり x1 に近づけていくと、g(x) の値は 2 に近づいていくことがわかる。

また、x1.5 からスタートして、1.25,1.125,1.0625,\cdots と、距離を半分ずつつめながら 1 に近づけていくと \begin{align} g(1.5)&=\dfrac{1.5^2-1}{1.5-1}\\ &=\dfrac{(1.5-1)(1.5+1)}{1.5-1}=2.5\\ g(1.25)&=\dfrac{1.25^2-1}{1.25-1}\\ &=\dfrac{(1.25-1)(1.25+1)}{1.25-1}=2.25\\ g(1.125)&=\dfrac{1.125^2-1}{1.125-1}\\ &=\dfrac{(1.125-1)(1.125+1)}{1.125-1}\\ &=2.125\\ g(1.0625)&=\dfrac{1.0625^2-1}{1.0625-1}\\ &=\dfrac{(1.0625-1)(1.0625+1)}{1.0625-1}\\ &=2.0625\\ &\qquad\vdots \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。

x1.51.251.1251.0625\cdots
f(x)2.52.252.1252.0625\cdots
この表からも、x1 に近づけると、g(x)2 に近づくことがわかる。つまり \lim_{x\to1}~g(x)=2 であるといえる。

上の2つの計算では、g(x)x に値を代入してから約分して計算したが、x\neq1 であるかぎり g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 であるから、このように先に約分してから x に値を代入する方が楽になる。

いま、g(x) の値は x=1 では(分母が 0 になるので)定義されないが、\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)2 として存在する、つまり \underbrace{\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)}_{この値は2}\neq\underbrace{g(1)}_{存在してない!} であることに注意しよう。

極限の考え方
極限の考え方

このことを、グラフで考えてみる。g(x)x\neq1g(x)=x+1 と書けるので、y=g(x) のグラフは図のようになり、x=ag(x) が存在しなくても、 \displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x) は存在することがある。

極限の計算法則

極限の計算法則について

さきほどの2つの例より f(x)=2x+1のとき\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=3 g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}のとき\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)=2 であった。いま、この2つの関数を足し合わせた関数 h(x)=f(x)+g(x)=2x+1+\dfrac{x^2-1}{x-1} の極限 \displaystyle\lim_{x\to1}h(x) は、x\neq1 のとき \begin{align} f(x)+g(x)&=2x+1+\dfrac{x^2-1}{x-1}\\ &=2x+1+\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\ &=2x+1+x+1\\ &=3x+2 \end{align} であるから \begin{align} \displaystyle\lim_{x\to1}h(x)&=\displaystyle\lim_{x\to1}\left\{f(x)+g(x)\right\}\\ &=\displaystyle\lim_{x\to1}(3x+2)=5 \end{align} となる。これは、極限をとったあと足し合わせた \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)+\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)=3+2=5 という結果と等しくなる。つまり \displaystyle\lim_{x\to1}\{f(x)+g(x)\}=\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)+\displaystyle\lim_{x\to1}g(x) が成り立っている。簡単にいえば、和の極限値は極限値の和と等しいということである。

和に限らず、一般に極限値の計算において、次のようなことがいえる。

極限の計算法則

\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x) が存在するとき

  1. \displaystyle\lim_{x\to{a}}\{f(x)\pm g(x)\}=\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)\pm\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x) (複合同順)
  2. \displaystyle\lim_{x\to{a}}\left\{kf(x)\right\}=k\cdot\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)
    ただし、k は定数とする。
  3. \displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)g(x)=\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)\cdot\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)
  4. \displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}
    ただし、\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq0 とする。
が成立する。

この定理を証明するためには、極限の定義をもっと厳密なものにする必要がある。厳密な極限の議論はFTEXT 数学IIIで行う。