極限
この節では、瞬間の速度で学んだ考え方を、関数を利用することにより、より一般的に見ていくことにしよう。
極限の定義
極限の定義について
極限の定義
関数 f(x) において、x が a と異なる値をとりながら a に限りなく近づくとき、f(x) が定数
また、f(x) は限りなく \alpha に近づくという意味で
x\to{a} のとき、f(x) は \alpha に収束 (convergence)する
ということもある。
極限の考え方の基本~例1~
ここで、例として f(x)=2x+1 において \displaystyle\lim_{x\to1}f(x) がいくつになるのか考えてみよう。
たとえば、x を 0.9 からスタートして、0.99,0.999,0.9999,\cdots と 1 に近づけていくと \begin{align} &f(0.9)=2\times0.9+1=2.8\\ &f(0.99)=2\times0.99+1=2.98\\ &f(0.999)=2\times0.999+1=2.998\\ &f(0.9999)=2\times0.9999+1=2.9998 \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。
x | 0.9 | 0.99 | 0.999 | 0.9999 | \cdots | |
f(x) | 2.8 | 2.98 | 2.998 | 2.9998 | \cdots |
また、x を 1.5 からスタートして、1.25,1.125,1.0625,\cdots と、距離を半分ずつつめながら 1 に近づけていくと \begin{align} &f(1.5)=2\times1.5+1=4\\ &f(1.25)=2\times1.25+1=3.5\\ &f(1.125)=2\times1.125+1=3.25\\ &f(1.0625)=2\times1.0625+1=3.125 \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。
x | 1.5 | 1.25 | 1.125 | 1.0625 | \cdots | |
f(x) | 4 | 3.5 | 3.25 | 3.125 | \cdots |
以上2つの例からわかるように \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=3 であるといえる。
この結果は、図の y=f(x) のグラフから明らかであろう。
また、ここで f(1)=3 であるから、結果として \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=f(1) となっていることがわかる。
一般に、この f(x)=2x+1 のように、y=f(x) のグラフが x=a で途切れていないとき、\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x) の値は \displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)=f(a)\tag{1}\label{kyokugennokangaekatanokihonrei1} となる。このことを知っていれば、上で調べたようにわざわざ表を作って考察しなくても、すぐに極限値を求めることができる。
極限の考え方

しかし、次の例のように、関数 y=f(x) のグラフの形がすぐにはわからないようなときには、グラフが途切れている可能性が あるので、極限値を求めるのに注意を要する。
極限の考え方の基本~例2~
では、その例として、g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1} において \displaystyle\lim_{x\to1}~g(x) がいくつになるのか考えてみよう。
たとえば x を 0.9 からスタートして、0.99,0.999,0.9999,\cdots と 1 に近づけていくと \begin{align} g(0.9)&=\dfrac{0.9^2-1}{0.9-1}\\ &=\dfrac{(0.9-1)(0.9+1)}{0.9-1}=1.9\\ g(0.99)&=\dfrac{0.99^2-1}{0.99-1}\\ &=\dfrac{(0.99-1)(0.99+1)}{0.99-1}=1.99\\ g(0.999)&=\dfrac{0.999^2-1}{0.999-1}\\ &=\dfrac{(0.999-1)(0.999+1)}{0.999-1}\\ &=1.999\\ g(0.9999)&=\dfrac{0.9999^2-1}{0.9999-1}\\ &=\dfrac{(0.9999-1)(0.9999+1)}{0.9999-1}\\ &=1.9999 \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。
x | 0.9 | 0.99 | 0.999 | 0.9999 | \cdots | |
f(x) | 1.9 | 1.99 | 1.999 | 1.9999 | \cdots |
また、x を 1.5 からスタートして、1.25,1.125,1.0625,\cdots と、距離を半分ずつつめながら 1 に近づけていくと \begin{align} g(1.5)&=\dfrac{1.5^2-1}{1.5-1}\\ &=\dfrac{(1.5-1)(1.5+1)}{1.5-1}=2.5\\ g(1.25)&=\dfrac{1.25^2-1}{1.25-1}\\ &=\dfrac{(1.25-1)(1.25+1)}{1.25-1}=2.25\\ g(1.125)&=\dfrac{1.125^2-1}{1.125-1}\\ &=\dfrac{(1.125-1)(1.125+1)}{1.125-1}\\ &=2.125\\ g(1.0625)&=\dfrac{1.0625^2-1}{1.0625-1}\\ &=\dfrac{(1.0625-1)(1.0625+1)}{1.0625-1}\\ &=2.0625\\ &\qquad\vdots \end{align} と計算できるので、次の表のようにまとめられる。
x | 1.5 | 1.25 | 1.125 | 1.0625 | \cdots | |
f(x) | 2.5 | 2.25 | 2.125 | 2.0625 | \cdots |
上の2つの計算では、g(x) の x に値を代入してから約分して計算したが、x\neq1 であるかぎり g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 であるから、このように先に約分してから x に値を代入する方が楽になる。
いま、g(x) の値は x=1 では(分母が 0 になるので)定義されないが、\displaystyle\lim_{x\to1}g(x) は 2 として存在する、つまり \underbrace{\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)}_{この値は2}\neq\underbrace{g(1)}_{存在してない!} であることに注意しよう。
極限の考え方

このことを、グラフで考えてみる。g(x) は x\neq1 で g(x)=x+1 と書けるので、y=g(x) のグラフは図のようになり、x=a で g(x) が存在しなくても、 \displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x) は存在することがある。
極限の計算法則
極限の計算法則について
さきほどの2つの例より f(x)=2x+1のとき\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=3 g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}のとき\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)=2 であった。いま、この2つの関数を足し合わせた関数 h(x)=f(x)+g(x)=2x+1+\dfrac{x^2-1}{x-1} の極限 \displaystyle\lim_{x\to1}h(x) は、x\neq1 のとき \begin{align} f(x)+g(x)&=2x+1+\dfrac{x^2-1}{x-1}\\ &=2x+1+\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\ &=2x+1+x+1\\ &=3x+2 \end{align} であるから \begin{align} \displaystyle\lim_{x\to1}h(x)&=\displaystyle\lim_{x\to1}\left\{f(x)+g(x)\right\}\\ &=\displaystyle\lim_{x\to1}(3x+2)=5 \end{align} となる。これは、極限をとったあと足し合わせた \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)+\displaystyle\lim_{x\to1}g(x)=3+2=5 という結果と等しくなる。つまり \displaystyle\lim_{x\to1}\{f(x)+g(x)\}=\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)+\displaystyle\lim_{x\to1}g(x) が成り立っている。簡単にいえば、和の極限値は極限値の和と等しいということである。
和に限らず、一般に極限値の計算において、次のようなことがいえる。
極限の計算法則
\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)、\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x) が存在するとき
- \displaystyle\lim_{x\to{a}}\{f(x)\pm g(x)\}=\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)\pm\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x) (複合同順)
- \displaystyle\lim_{x\to{a}}\left\{kf(x)\right\}=k\cdot\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)
ただし、k は定数とする。 - \displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)g(x)=\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)\cdot\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)
- \displaystyle\lim_{x\to{a}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to{a}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)}
ただし、\displaystyle\lim_{x\to{a}}g(x)\neq0 とする。
この定理を証明するためには、極限の定義をもっと厳密なものにする必要がある。厳密な極限の議論はFTEXT 数学IIIで行う。