積分法

速度と変位

一定の速度のまま運動する物体の移動距離は、その物体の速度に時間をかければ求めることができる。では、速度が一定でない物体の移動距離はどのように求めればよいだろうか。ここではその方法について学んでいこう。

速度が一定の場合

$v-t$グラフの囲む面積は移動距離を表す

速度が変化する場合

速度が変化する場合の$v-t$グラフと移動距離
5分割する場合
10分割する場合
$n$分割する場合の極限

定積分

前の節では、ある区間でのグラフを$n$等分して長方形を作り足し合わせ、その極限として全体の面積を考える操作を考えた。この操作は区分求積と呼ばれる。ここでは一般の関数での区分求積を考えていこう。

定積分の定義

定積分の定義について
定積分の表記に関する注意

定積分の性質

定積分の性質について

定積分と面積の関係

定積分と面積の関係について

微積分学の基本定理

前の章で学んだ微分法と、この章で学んでいる積分法には、実は密接な関係がある。この関係を利用すると、定積分の計算がおどろくほど楽に実行できるようになる。ここでは、その関係について学んでいこう。

微積分学の基本定理について

微積分学の基本定理とは

定積分の基本公式

原始関数とは何か
定積分の基本公式について

工夫のできる積分計算

これまでに見てきたように、定積分$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$を計算するには、定積分の基本公式によれば、まず関数$f(x)$の原始関数$F(x)$を求め、次に$\left[f(x)\right]_{a}^{b}$、すなわち$F(b)−F(a)$を計算すればよかった。しかし、積分区間の端点$a$や$b$の値が分数やルートを含み汚かったり、原始関数$F(x)$の式の形が複雑な場合には、その計算も楽ではない。ここでは、定積分の計算を楽に行うための知識を学んでいく。

対称な区間での定積分

偶関数と奇関数
偶関数と奇関数のグラフの特徴
対称な区間での定積分について

方程式の解を区間の端点とする積分

方程式の解を区間の端点とする積分について

積分の応用

積分法の仕上げとして、積分による面積の応用的な計算と、積分を含む関数の方程式について学んでいこう。

絶対値を含んだ関数の積分

絶対値を含んだ関数の定積分について

曲線の囲む面積

2曲線の囲む面積
カバリエリの原理

基本的な積分方程式

積分方程式とは何か
積分区間が定数の場合
積分区間に変数を含む場合