絶対値と方程式・不等式

絶対値でも学んだように、実数 $x$ の絶対値 $|x|$ は、数直線上での原点と実数 $x$ に対応する点との距離を表すので、次のことがいえる。

絶対値と方程式・不等式の関係

絶対値と方程式・不等式の関係の図

絶対値と方程式・不等式の関係の図

絶対値を含む $x$ の方程式、不等式に関して \begin{align} |x|=a\Leftrightarrow&~x=\pm\text{a}\\ |x|\lt a\Leftrightarrow&-a\lt{x}\lt{a}\\ |x|\gt a\Leftrightarrow&x\lt-a,a\lt{x} \end{align} ただし、$a\gt0$ とする。

絶対値を含む1次方程式・1次不等式

  1. $|x−1|=3$
  2. $|3x−2|=6$
  3. $|x+1|\gt4$
  4. $|5x-2|\leqq4$

  1. $(右辺)=3$ なので、$x-1=\pm3$ より、$\boldsymbol{x=-2,~4}$ である。
    $\blacktriangleleft$ $x-1=-3$ のときは $x=-2$、$x-1=3$ のときは $x=4$
  2. $(右辺)=6$ なので、$3x-2=\pm6$ より \begin{align} &3x-2=\pm6\\ \Leftrightarrow~&3x=-4,8\\ \therefore~&\boldsymbol{x=-\dfrac{4}{3}~,~~\dfrac{8}{3}} \end{align}
  3. $(右辺)=4$ なので \begin{align} &x+1\lt-4または4{\lt}x+1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x\lt-5または3\lt{x}} \end{align}
  4. $(右辺)=4$ なので、$-4\leqq{5x-2}\leqq4$ より \begin{align} &-4\leqq5x-2\leqq4\\ \Leftrightarrow~&-2\leqq5x\leqq6\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{-\dfrac{2}{5}\leqq{x}\leqq\dfrac{6}{5}} \end{align}