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絶対値と方程式・不等式

絶対値でも学んだように、実数 x の絶対値 |x| は、数直線上での原点と実数 x に対応する点との距離を表すので、次のことがいえる。

絶対値と方程式・不等式の関係

絶対値と方程式・不等式の関係の図

絶対値と方程式・不等式の関係の図

絶対値を含む x の方程式、不等式に関して |x|=a⇔ x=±a|x|<a⇔−a<x<a|x|>a⇔x<−a,a<x ただし、a>0 とする。

絶対値を含む1次方程式・1次不等式

  1. |x−1|=3
  2. |3x−2|=6
  3. |x+1|>4
  4. |5x−2|≦

  1. (右辺)=3 なので、x-1=\pm3 より、\boldsymbol{x=-2,~4} である。
    \blacktriangleleft x-1=-3 のときは x=-2、x-1=3 のときは x=4
  2. (右辺)=6 なので、3x-2=\pm6 より \begin{align} &3x-2=\pm6\\ \Leftrightarrow~&3x=-4,8\\ \therefore~&\boldsymbol{x=-\dfrac{4}{3}~,~~\dfrac{8}{3}} \end{align}
  3. (右辺)=4 なので \begin{align} &x+1\lt-4または4{\lt}x+1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x\lt-5または3\lt{x}} \end{align}
  4. (右辺)=4 なので、-4\leqq{5x-2}\leqq4 より \begin{align} &-4\leqq5x-2\leqq4\\ \Leftrightarrow~&-2\leqq5x\leqq6\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{-\dfrac{2}{5}\leqq{x}\leqq\dfrac{6}{5}} \end{align}