多項式の乗法について

分配法則 $A(B+C)=AB+AC$ や $(A+B)C=AC+BC$ は多項式においても成立する。 これを使って、たとえば $(x^2+3)(x^2-4x+5)$ は次のように計算できる。 \begin{align} &(x^2+3)(x^2-4x+5)\\ =&(x^2+3)A\\ =&x^2A+3A\\ =&x^2(x^2-4x+5)+3(x^2-4x+5)\\ =&x^4-4x^3+5x^2+3x^2-12x+15\\ =&x^4-4x^3+8x^2-12x+15 \end{align} ここでは、$x^2-4x+5$ を $A$ とおいて計算したが、それを省略して次のように計算することもできる。

多項式の分配

多項式の分配

このように、多項式どうしの積を計算して単項式だけの和にすることを展開 (expansion) するという

多項式の展開

次の式を展開せよ。

  1. $(x+3)(2x+1)$
  2. $(4x-1)(2x+3)$
  3. $(x+4)(2x^2-8x+5)$
  4. $(3x-x^2)(5x^2-2x+1)$

  1. \begin{align} &(x+3)(2x+1)\\=&2x^2+x+6x+3\\ =&\boldsymbol{2x^2+7x+3} \end{align}
  2. \begin{align} &(4x-1)(2x+3)\\=&8x^2+12x-2x-3\\ =&\boldsymbol{8x^2+10x-3} \end{align}
  3. \begin{align} &(x+4)(2x^2-8x+5)\\ =&2x^3-8x^2+5x+8x^2-32x+20\\ =&\boldsymbol{2x^3-27x+20} \end{align}
  4. \begin{align} &(3x-x^2)(5x^2-2x+1)\\ =&15x^3-6x^2+3x-5x^4+2x^3-x^2\\ =&\boldsymbol{-5x^4+17x^3-7x^2+3x} \end{align}