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多項式の乗法について

分配法則 A(B+C)=AB+AC や (A+B)C=AC+BC は多項式においても成立する。 これを使って、たとえば (x2+3)(x2−4x+5) は次のように計算できる。 (x2+3)(x2−4x+5)=(x2+3)A=x2A+3A=x2(x2−4x+5)+3(x2−4x+5)=x4−4x3+5x2+3x2−12x+15=x4−4x3+8x2−12x+15 ここでは、x2−4x+5 を A とおいて計算したが、それを省略して次のように計算することもできる。

多項式の分配

多項式の分配

このように、多項式どうしの積を計算して単項式だけの和にすることを展開 (expansion) するという

多項式の展開

次の式を展開せよ。

  1. (x+3)(2x+1)
  2. (4x−1)(2x+3)
  3. (x+4)(2x2−8x+5)
  4. (3x−x2)(5x2−2x+1)

  1. \begin{align} &(x+3)(2x+1)\\=&2x^2+x+6x+3\\ =&\boldsymbol{2x^2+7x+3} \end{align}
  2. \begin{align} &(4x-1)(2x+3)\\=&8x^2+12x-2x-3\\ =&\boldsymbol{8x^2+10x-3} \end{align}
  3. \begin{align} &(x+4)(2x^2-8x+5)\\ =&2x^3-8x^2+5x+8x^2-32x+20\\ =&\boldsymbol{2x^3-27x+20} \end{align}
  4. \begin{align} &(3x-x^2)(5x^2-2x+1)\\ =&15x^3-6x^2+3x-5x^4+2x^3-x^2\\ =&\boldsymbol{-5x^4+17x^3-7x^2+3x} \end{align}