空間ベクトルの垂直条件

平面ベクトルの場合と同じように,空間ベクトルでもベクトルの垂直を定義する.

$\vec{0}$ でない2 つのベクトル,$\vec{a}$ と$\vec{b}$ のなす角が$90^\circ$ とき,$\vec{a}$ と$\vec{b}$ は垂直であるといい,$\boldsymbol{\vec{a}\perp\vec{b}}$と表す.また,$\vec{0}$ はすべてのベクトルに対し垂直と定める.

このとき,$\vec{a}$ と$\vec{b}$ の内積は,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ となる.逆に,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ならば$\vec{a}\perp\vec{b}$ といえる.つまり

\[\vec{a}\perp\vec{b} \Longleftrightarrow\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

である.

また,成分表示された2 つのベクトル,$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right)$ と$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)$ が垂直であるとき

\[ \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right) = 0 \Longleftrightarrow a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0\] が成り立つ.

空間ベクトルの垂直条件

無題

無題

正四面体$\text{O-ABC}$ で,$\text{OA}\perp\text{OB}$ が垂直であることを証明せよ.

正四面体であるので

\[\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} =\overrightarrow{\text{OB}} \cdot\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OC}} \cdot\overrightarrow{\text{OA}}\]

より

\begin{align} \overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} &=\overrightarrow{\text{OA}} \cdot (\overrightarrow{\text{OC}} −\overrightarrow{\text{OB}})\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} −\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} = 0 \end{align}

以上から,$\text{OA}\perp\text{OB}$ であることが示せた.

空間ベクトルの内積と垂直条件

無題

無題

1 辺の長さ2 の正四面体$\text{ABCD}$ がある.$\text{AB}$の中点を$\text{M},\text{CD}$ の中点を$\text{N}$ とする.$\overrightarrow{\text{DA}} = \vec{a},\overrightarrow{\text{DB}} = \vec{b},\overrightarrow{\text{DC}} = \vec{c}$とおくとき,以下の問いに答えよ.

  1. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ.
  2. $\overrightarrow{\text{MN}}$ を$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ で表せ.
  3. $\text{MN}\perp\text{AB}$ であることを証明せよ.
  4. $\left|\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}\right|$を求めよ.
  5. $\overrightarrow{\text{DM}}$ と$\overrightarrow{\text{DC}}$ のなす角の余弦を求めよ.

  1. \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ= \boldsymbol{2}\]
  2. \begin{align} \overrightarrow{\text{MN}} &=\overrightarrow{\text{DN}} −\overrightarrow{\text{DM}}\\ &= \dfrac{1}{2}\vec{c} − \dfrac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{2} (−\vec{a} − \vec{b} + \vec{c})} \end{align}
  3. $\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b} − \vec{a}$ であるので

    \begin{align} \overrightarrow{\text{MN}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} &=\dfrac{1}{2}(−\vec{a} − \vec{b} +\vec{c}) \cdot (\vec{b} − \vec{a})\\ &= \dfrac{1}{2}\left(−\vec{a} \cdot \vec{b} + \left|\vec{a}\right|^2 − \left|\vec{b}\right|^2 \right.\\ &\qquad \left.+ \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} − \vec{a} \cdot \vec{c}\right) \end{align}

    ここで,1. と$\text{ABCD}$ が正四面体であることから,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 2$であるので

    \[\overrightarrow{\text{MN}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = \dfrac{1}{2} (−2 + 4 − 4 + 2 + 2 − 2) = 0\]

    したがって,$\text{MN}\perp\text{AB}$ である.

  4. \begin{align} \left|\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}\right|^2 &= \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 + \left|\vec{c}\right|^2\\ &\qquad+ 2\left( \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} +\vec{c} \cdot \vec{a} \right)\\ &= 4 + 4 + 4 + 2(2 + 2 + 2) = 24 \end{align}

    したがって,$ \boldsymbol{\left|\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}\right| = 2\sqrt{6}}$ である.

  5. $\triangle \text{DAB}$ は正三角形であり,$\text{M}$ が$\text{AB}$ の中点であることから

    \[\left|\overrightarrow{\text{DM}}\right| =\left|\overrightarrow{\text{AD}}\right| \sin 60^\circ=\sqrt{3}\]

    となり,また

    \begin{align} \overrightarrow{\text{DM}} \cdot \overrightarrow{\text{DC}} &= \dfrac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}\\ &=\dfrac{1}{2}\left(\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\right)= 2 \end{align}

    である.したがって,$\overrightarrow{\text{DM}}\cdot \overrightarrow{\text{DC}}$ のなす角を$\theta$とすると

    \[\cos \theta =\dfrac{\overrightarrow{\text{DM}} \cdot \overrightarrow{\text{DC}}}{ \left|\overrightarrow{\text{DM}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\text{DC}}\right|} = \dfrac{2}{2 \cdot \sqrt{3}}=\boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}\]