内分・外分点の位置ベクトル

点$\text{ O }$に関して空間内の2 点$\text{ A}(\vec{a})，\text{ B}(\vec{b})$をとるとき，線分$\text{ AB}$ を$m : n$の比に内分する点$\text{ P}$の位置ベクトル$\vec{p}$，および外分する点$\text{ Q}$ の位置ベクトル$\vec{q}$ は$\vec{a}，\vec{b}，m，n$を用いて次のように表すことができる．

$$\vec{p} = \dfrac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n} , \vec{q} =\dfrac{−n\vec{a} + m\vec{b}}{m – n}$$

これより，2 点$\text{ A}(a_x, a_y, a_z)，\text{ B}(b_x, b_y, b_z)$を結ぶ線分$\text{AB}$を$m : n$ に内分する点を$\text{ P}$，外分する点を$\text{ Q}$ とすると，点$\text{ P}，\text{ Q}$の座標は次のようになる．

$$\begin{align} &\text{ P}\left(\dfrac{n{a_x} + m{b_x}}{m + n},\dfrac{n{a_y} + m{b_y}}{m + n},\dfrac{n{a_z} + m{b_z}}{m + n}\right)\\ &\text{ Q}\left(\dfrac{−n{a_x} + m{b_x}}{m – n},\dfrac{−n{a_y} + m{b_y}}{m – n},\dfrac{−n{a_z} + m{b_z}}{m – n}\right) \end{align}$$