空間ベクトルの平行条件
2 つの空間ベクトル→a,→b の平行に関しても,平面の場合と同様に
→a∥→b ⟺ →a=k→bとなるk∈R が存在する
である.
また,成分表示された2 つのベクトル,→a=(axayaz) と→b=(bxbybz) が平行であるとき
(axayaz)=k(bxbybz)⟺(axayaz)=k(kbxkbykbz)⟺{ax=kbxay=kbyaz=kbz⟺{k=axbxk=aybyk=azbzより(k=)axbx=ayby=azbz,つまり
axby=aybxかつaybz=azby
が成り立つ.
空間ベクトルの成分
→a=(111 ),→b=(23−4),→c=(−254) のとき,以下の問いに答えよ.
- |→b| を求めよ.
- 2→a−→b+3→c の成分を求めよ.
- |→a+→b+→c| を求めよ.
- →x+→y=2→a,2→x+→y+→z=2→b,→x+3→y+2→z=→c をみたす→x,→y,→z の成分を求めよ.
- →b と反対向きの単位ベクトルを求めよ.
- \left|\vec{b}\right| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (−4)^2} = \boldsymbol{\sqrt{29}} \blacktriangleleft 『成分表示された空間ベクトルの大きさ』
- \begin{align} 2\vec{a} − \vec{b} + 3\vec{c} &= 2 \left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\ \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 2\\ 3\\ −4\\ \end{array} \right) +3 \left( \begin{array}{c} −2\\ 5\\ 4\\ \end{array} \right)\\ &= \left( \begin{array}{c} 2−2-6\\ 2-3+15\\ 2+4+12\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{−6}\\ \boldsymbol{14}\\ \boldsymbol{18}\\ \end{array} \right) \end{align}
\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} を成分で表すと
\vec{a} + \vec{b} +\vec{c} = \left( \begin{array}{c} 1\\ 9\\ 1\\ \end{array} \right)となるので
\left|\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}\right| = \sqrt{1^2 + 9^2 + 1^2} = \boldsymbol{\sqrt{83}} \blacktriangleleft 『成分表示された空間ベクトルの大きさ』\vec{x},\vec{y},\vec{z} を連立方程式として考えると
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \vec{x} +\vec{y} = \left( \begin{array}{c} 2\\ 2\\ 2\\ \end{array} \right)\\ 2\vec{x} +\vec{y} +\vec{z} = \left( \begin{array}{c} 4\\ 6\\ -8\\ \end{array} \right)\\ \vec{x} + 3\vec{y} + 2\vec{z} = \left( \begin{array}{c} -2\\ 5\\ 4\\ \end{array} \right)\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}上の式から、それぞれ \tag{1}\label{kuukanbekutorunoseibunnokaitou1} \tag{2}\label{kuukanbekutorunoseibunnokaitou2} \tag{3}\label{kuukanbekutorunoseibunnokaitou3} とする。
\eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou1} \times 2 − \eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou2} より
\vec{y} −\vec{z} = \left( \begin{array}{c} 0\\ -2\\ 12\\ \end{array} \right) \tag{4}\label{kuukanbekutorunoseibunnokaitou4}\eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou3} \times \dfrac{1}{2} − \eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou1} \times \dfrac{1}{2}より
\vec{y} +\vec{z} = \left( \begin{array}{c} -2\\ \dfrac{3}{2}\\ 1\\ \end{array} \right) \tag{5}\label{kuukanbekutorunoseibunnokaitou5} \eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou4}+ \eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou5} より 2\vec{y} = \left( \begin{array}{c} -2\\ -\dfrac{1}{2}\\ 13\\ \end{array} \right) \Leftrightarrow \boldsymbol{\vec{y}} = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{-1}\\ \boldsymbol{-\dfrac{1}{4}}\\ \boldsymbol{\dfrac{13}{2}}\\ \end{array} \right) \tag{6}\label{kuukanbekutorunoseibunnokaitou6}\eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou4},\eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou6}より\boldsymbol{\vec{z}} = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{-1}\\ \boldsymbol{\dfrac{7}{4}}\\ \boldsymbol{-\dfrac{11}{2}}\\ \end{array} \right) である.
また, \eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou1},\eqref{kuukanbekutorunoseibunnokaitou6} より\boldsymbol{\vec{x}} = \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{3}\\ \boldsymbol{\dfrac{9}{4}}\\ \boldsymbol{-\dfrac{9}{2}}\\ \end{array} \right) である.
1. より,求めるベクトルは
− \dfrac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}= \boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{29}}} \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{-2}\\ \boldsymbol{-3}\\ \boldsymbol{4}\\ \end{array} \right)
空間ベクトルの平行条件
\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 2\\ −1\\ 5\\ \end{array} \right) ,\vec{b} = \left( \begin{array}{c} z – 1\\ 2\\ z + 1\\ \end{array} \right) のとき,\vec{a} \parallel \vec{b} となることはあるか.
もし,\vec{a} \parallel \vec{b} ならば
空間ベクトルの平行条件a_xb_y = a_yb_xかつa_yb_z = a_zb_y つまり
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2 \cdot 2 = (−1) \cdot (z −1) \\ −1 \cdot (z + 1) = 5 \cdot 2 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}上の式を\tag{7}\label{kuukanbekutorunoheikoujoukennokaitou7},下の式を\tag{8}\label{kuukanbekutorunoheikoujoukennokaitou8}とする。
が成り立つはずである.だが, \eqref{kuukanbekutorunoheikoujoukennokaitou7} よりz = −3, \eqref{kuukanbekutorunoheikoujoukennokaitou8} より z = −11 である.したがって,\vec{a} と\vec{b} が平行となることは ない.