数学B 第6章空間ベクトルの演算 — 空間における点・直線・平面

この節の前提数学I空間図形の計量／数学A空間図形

2直線の位置関係

2直線の位置関係について

異なる2 直線 $l, m$ の位置関係には次の3 つの場合がある。

「1) 平行である」という文字の下に、1つの平面が描かれている。その平面の上に、2本の直線lとmが互いに交わることなく平行に並んでいる。

「2) 1点で交わる」という見出しのもと、平面上に2直線lとmが描かれている。2つの直線は中央の1点で互いに交差し、その交点に黒い点が打たれている。

「3) ねじれの位置にある」という見出しの下に、平面に含まれる直線mと、その平面を突き抜けて直線mと交わらない直線lが描かれている。直線lの平面の裏に隠れる部分は破線で表されている。

1)、2) の場合は2 直線は同じ平面上にあり、3) の場合は同じ平面上にない。

灰色の平面を突き抜ける直線 l' と平面上の直線 m' が点 O で交わっている。点 O のまわりには、これら 2 直線のなす隣り合う 2 つの角 θ と φ が示されている。

の場合、上の図のように、任意の1 点 $O$ を通り $l, m$ にそれぞれ平行な直線 $l0, m0$ をひくと、点 $O$ のとり方に関係なく、2 つの角 $θ,$ が決まる。 $θ + = 180°$ となるので、片方の角度が決まればもう片方の角度も決まる。この2 つの角のうち大きくないほう、すなわち $θ ≦$ のときの $θ$ を2 直線 $l, m$ のなす角という。2) の場合は、 $O$ として2 直線の交点をとればよい。

2)、3) の場合において、特に $l, m$ のなす角が直角であるとき、 $l$ と $m$ は垂直であるといい、 $l ⊥ m$ と書く。さらに、垂直である2 直線が交わるとき、直交するという。

直線と平面の位置関係

直線と平面の位置関係について

直線 $l$ と平面 $α$ の位置関係には、次の3 つの場合がある。

灰色の平行四辺形で表された平面αの上方に、その平面と交わらない直線lが離れて並行に引かれており、上部に「1) 平行である」と書かれている。

2) 1点で交わるというテキストの下に、平面αを貫く直線lが描かれている。交点に黒点があり、平面の裏側に隠れる直線部分は破線で表されている。

斜めに置かれた平面αを表す平行四辺形の内部に、直線lが完全に含まれて描かれている。上部には「3) l は α 上にある」と書かれている。

平面αと、その平面を突き抜ける直線lが1点で交わっている。交点を通る平面α上の2本の直線と直線lとの間には、それぞれ直角記号が付いている。

上の図のように、直線 $l$ が平面 $α$ 上のすべての直線と垂直であるとき、 $l$ と $α$ は垂直である、または直交するといい、 $l ⊥ α$ と表す。また、このとき、 $l$ を平面 $α$ の垂線という。

実は、直線 $l$ が平面 $α$ 上の交わる2 直線と垂直であれば、 $l$ は $α$ 上のすべての直線と垂直となって、 $l ⊥ α$ となる。ここで、2 直線が交わっていることは欠かせない。平行な2 直線とだけ垂直であっても、 $l$ が $α$ と垂直になるとは限らないからである。

平面 $α$ 上にない点 $A$ を通る $α$ の垂線が、平面 $α$ と交わる点 $H$ を、点 $A$ から平面 $α$ におろした垂線の足という。

また、平面 $α$ と1 点 $O$ で交わる直線 $l$ について、 $l$ 上の $O$ と異なる点 $A$ から $α$ におろした垂線の足を $H$ とすると、直線 $OH$ は $A$ のとり方に関係なく定まる。この直線 $OH$ と $l$ のなす角を、直線 $l$ と平面 $α$ のなす角という。ただし、 $l ⊥ α$ のときは、そのなす角を $90°$ とする。

2平面の位置関係

2平面の位置関係について

異なる2 平面 $α ,β$ の位置関係には、次の2 つの場合がある。

「1) 平行である」という文字の下に、上下に並んだ2つの平面αと平面βが描かれている。下側の平面がα、上側の平面がβであり、互いに交わらず平行に並んでいる。

2つの平面αとβが立体的に交差している。ほぼ水平な平面αと、それを斜めに切る平面βが、中央の1本の直線を共有して交わっている。

のように、2 平面 $α ,β$ が共有点をもたないとき、この2 平面は平行であるといい、 $α ∥ β$ とかく。

また、2) のように、2 つの平面 $α ,β$ が共有点をもつとき、この2 平面はその共有点を含むある1 つの直線を共有する。このとき、この2 平面は交わるといい、この直線を $α$ と $β$ の交線という。

交わる2つの平面αとβがあり、その交線上の点Pから、α上に直線PA、β上に直線PBが引かれている。PAとPBはそれぞれ交線と垂直で、∠APBが示されている。

交わる2 平面 $α ,β$ の交線上の点 $P$ から交線に垂直な直線 $PA, PB$ をそれぞれ $α ,β$ 上に引くと、 $P$ のとり方に関係なく $∠APB$ の大きさは一定となる。この角を2 平面 $α ,β$ のなす角という。特に、 $∠APB = 90°$ のとき、 $α$ と $β$ は直交する、または垂直であるといい、 $α ⊥ β$ と書く。

問題1空間における点・直線・平面

次の図の立方体について、以下の問いに答えよ。

$AB$ と $FH$ のなす角を求めよ。
$AB$ と $FC$ のなす角を求めよ。
$BD$ と $AH$ のなす角を求めよ。
平面 $ABCD$ と平面 $BFHD$ のなす角を求めよ。
$DF$ と平面 $EFGH$ のなす角を $θ$ とするとき、 $cos θ$ の値を求めよ。

上面が正方形ABCD、下面が正方形EFGHの立方体ABCD-EFGHである。頂点A、B、C、Dはそれぞれ頂点E、F、G、Hの真上にあり、見えない奥の辺AE、EF、EHは破線で表されている。

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$AB$ と $FH$ のなす角は、 $EF$ と $FH$ のなす角と等しい。したがって、 $△EFH$ は $1 : 1 :\sqrt2$ の二等辺三角形なので、 $45°$ である。
$AB$ と $FC$ のなす角は $EF$ と $FC$ のなす角と等しいので、 $90°$ である。
$BD$ と $AH$ のなす角は $BD$ と $BG$ のなす角と等しい。したがって、 $△BGD$ は正三角形なので、 $60°$ である。
2 平面の交線は $BD$ である。 $BF ⊥$ 平面 $ABCD$ であるから、 $BF$ は $BD$ とも、平面 $ABCD$ 上で $B$ を通り $BD$ に垂直な直線とも垂直である。 $BF$ は平面 $BFHD$ 上にあるので、2 平面のなす角は $90°$ である。
$DH ⊥$ 平面 $EFGH$ であるから、 $D$ から平面 $EFGH$ におろした垂線の足は $H$ であり、 $θ = ∠DFH$ となる。また、 $DH$ は平面 $EFGH$ 上の $FH$ とも垂直だから、 $△DFH$ は $∠DHF = 90°$ の直角三角形である。立方体の1 辺の長さを $1$ とすると、 $DF =\sqrt3, FH = \sqrt2$ であるから $cos θ =FH/DF=\sqrt2/\sqrt3=\sqrt6/3$

最終更新: 2026-09-03

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