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ベクトルの合成と分解

ベクトルの加法と減法で次の式を学習した．

→AB+→BC=→AC →OA−→OB=→BA

このように2 つ以上のベクトルを1 つのベクトルで表現することをベクトルの合成という．

またこれらの式を逆にみて

→AC=→AB+→BC →BA=→OA−→OB

1 つのベクトルを2 つ以上のベクトルで表現することをベクトルの分解という．

ベクトルの合成と分解の図その１

(1)では経由点として点B をとっているが，ベクトルの加法の定義を考えると，点B でなくても任意の点でかまわないことがわかる．つまり

→AC=→A □+→□ C

として，□には好きな点を経由点としてとってよい．

同様にして，(2)では始点として点 O をとっているが，点 O でなくても任意の点でかまわないことがわかる．

つまり

→BA=→□ A−→□ B

として，□には好きな点を始点としてとってよい．

ベクトルの合成と分解

  1. 合成 →A □+→□ B=→AB

    →□ B−→□ A=→AB

  2. 分解 →AB=→A □+→□ B

    →AB=→□ B−→□ A

吹き出しベクトルの合成と分解

合成公式の第1 式と分解公式の第2 式はよく使うので覚えておこう．

ベクトルの加法

正六角形 ABCDEF において，辺 DE の中点を M とし，線分 AM の中点を N，辺 BCの中点を P とする．このとき，→AM および→NP を，→AB，→AF を用いて表せ．

無題

無題

この正六角形の中心を O とする．

\begin{align} \overrightarrow{\text{AM}} &=\overrightarrow{\text{AD}} +\overrightarrow{\text{DM}} = 2\overrightarrow{\text{AO}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{DE}}\\ &= 2(\overrightarrow{\text{AB}} +\overrightarrow{\text{BO}}) − \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{ED}}\\ &= 2(\overrightarrow{\text{AB}} +\overrightarrow{\text{AF}}) − \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}\\ &=\left(2 − \dfrac{1}{2}\right) \overrightarrow{\text{AB}} + 2\overrightarrow{\text{AF}} \\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\text{AB}} + 2\overrightarrow{\text{AF}}}\\ \overrightarrow{\text{NP}} &=\overrightarrow{\text{AP}} −\overrightarrow{\text{AN}} =\left(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BP}} − \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AM}}\right)\\ &=\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AF}}) \\ &\ \qquad − \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\text{AB}} + 2\overrightarrow{\text{AF}}\right)\\ &=\left(1 + \dfrac{1}{2}− \dfrac{3}{4}\right)\overrightarrow{\text{AB}} +\left(\dfrac{1}{2}− 1\right) \overrightarrow{\text{AF}}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}\overrightarrow{\boldsymbol{\text{AB}}} − \boldsymbol{\dfrac{1}{2}}\overrightarrow{\boldsymbol{\text{AF}}} \end{align}