階差型漸化式の解法

漸化式 $a_{n+1}=a_n+3n^2+n$ を変形すると

\begin{align} &a_{n+1}=a_n+3n^2+n\\ \Leftrightarrow\ &a_{n+1}-a_n=3n^2+n \end{align}

$\blacktriangleleft$ 階差型漸化式の特徴は， $a_{n+1}$ と $a_n$ の係数が等しいことにある

となるので，数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ とすれば

\[b_n=a_{n+1}-a_n=3n^2+n\]

であることがわかる．

ここで， $n\geqq2$ のとき

$\blacktriangleleft$ 階差数列の公式は， $n\geqq2$ でないと使えない

\begin{align} a_n&=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\ &=1+\sum_{k=1}^{n-1}(3k^2+k)\\ &=1+\frac{3}{6}(n-1)n(2n-1)+\frac{1}{2}(n-1)n\\ &=1+\frac{1}{2}(n-1)n\{(2n-1)+1\}\\ &=1+(n-1)n^2 \end{align}

$\blacktriangleleft$ 階差数列の一般項

この式の右辺の $n$ に1を代入すると，1となり，これは $a_1$ に一致する．

$\blacktriangleleft$ $n=1$ でもあてはまるか代入してチェックする

したがって，求める一般項は

\[\boldsymbol{a_n=1+(n-1)n^2}\]