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漸化式の基本

初項5，公比3の等比数列 {an} の一般項は，第1章で学んだ通り，次のように表される．

an=5⋅3n−1

この数列を漸化式で表現すると，次のようになる．

an+1=3ana1=5

ここで逆に，条件 (1),(2) が与えられた数列を考えると， (2) より初項が定まり，あとは (1) に順に n=1,2,3,⋯ と代入することにより

a2=3⋅a1=15a3=3⋅a2=45a4=3⋅a3=135⋯

とただ一通りに数列 {an} が定められる．

このように，数列のある項と別のある項との間に成り立つ関係式のことを，漸化式と定義していた．

漸化式から数列の項を求める(再掲)

次の条件によって定められる数列 {an} の第5項までを書き出せ．

  1. a1=1,an+1=an+n2
  2. a1=2,an+1=3an+2
  3. a1=1,an+1=5an+2n
  4. a1=1,an+1=5an+n
  5. a1=2,a2=5,an+2=5an+1−6an
  6. a1=2,an+1=2an+2an+3

  1. a1=1a2=1+22=5a3=5+32=14a4=14+42=30a5=30+52=55

    より， \boldsymbol{1,5,14,30,55} である．

  2. \begin{align} a_1&=2\\ a_2&=3\cdot2+2=8\\ a_3&=3\cdot8+2=26\\ a_4&=3\cdot26+2=80\\ a_5&=3\cdot80+2=242 \end{align}

    より， \boldsymbol{2,8,26,80,242} である．

  3. \begin{align} a_1&=1\\ a_2&=5\cdot1+2=7\\ a_3&=5\cdot7+2^2=39\\ a_4&=5\cdot39+2^3=203\\ a_5&=5\cdot203+2^4=1031 \end{align}

    より， \boldsymbol{1,7,39,203,1031} である．

  4. \begin{align} a_1&=1\\ a_2&=5\cdot1+1=6\\ a_3&=5\cdot6+2=32\\ a_4&=5\cdot32+3=163\\ a_5&=5\cdot163+4=819 \end{align}

    より， \boldsymbol{1,6,32,163,819} である．

  5. \begin{align} a_1&=2\\ a_2&=5\\ a_3&=5\cdot5-6\cdot2=13\\ a_4&=5\cdot13-6\cdot5=35\\ a_5&=5\cdot35-6\cdot13=97 \end{align}

    より， \boldsymbol{2,5,13,35,97} である．

  6. \begin{align} a_1&=2\\ a_2&=\frac{2\cdot2+2}{2+3}=\frac{6}{5}\\ a_3&=\frac{2\cdot\frac{6}{5}+2}{\frac{6}{5}+3}=\frac{22}{21}\\ a_4&=\frac{2\cdot\frac{22}{21}+2}{\frac{22}{21}+3}=\frac{86}{85}\\ a_5&=\frac{2\cdot\frac{86}{85}+2}{\frac{86}{85}+3}=\frac{342}{341} \end{align}

    より， \boldsymbol{2,\dfrac{6}{5},\dfrac{22}{21},\dfrac{86}{85},\dfrac{342}{341}} である．

実は上記の例題の問題は全て異なるタイプの漸化式となっている．以降では，それらをひとつひとつピックアップして学んでいく．その前に，それぞれの特徴を簡単に説明しておこう．

  1. 階差型漸化式

    2. a_{n+1} と a_n の係数が同じであるタイプ．条件式から階差数列 b_n=a_{n+1}-a_n の式を導くことができ，階差数列から一般項を求める．これについては階差数列ですでに学んだ．

  2. 線形2項間漸化式

    3. a_{n+1} と a_n の係数が異なっており，かつ定数が加えられるタイプ．特性方程式という特殊な方程式を活用し，一般項を求める．

  3. 変形階差型漸化式( r^2 タイプ)

    4. a_{n+1} と a_n の係数が異なっており，かつ r^2 が加えられるタイプ．特性方程式か階差数列を利用して，一般項を求める．

  4. 変形階差型漸化式( n^k タイプ)

    5. a_{n+1} と a_n の係数が異なっており，かつ n^k が加えられるタイプ．一般的には階差数列を利用して，一般項を求める．

  5. 線形3項間漸化式

    6. a_{n+2} と a_{n+1} と a_n の3項による関係式が与えられるタイプ．3項間漸化式の特性方程式を活用し，一般項を求める．

  6. 分数型漸化式

    7. 分数型となっているタイプ．一般的には分数型漸化式の特性方程式を活用し，一般項を求める．

なお漸化式の基本的な解き方として，等比数列の形に帰着させることを覚えておくと良い．以降では各タイプを具体的にみていくことにする．