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等比数列のΣ計算

c は定数として， ∑c(kの1次式) タイプの和は，すべて等比数列の和として求めることができる．

等比数列の Σ 計算

次の数列の和を求めよ．

  1. n∑k=13k
  2. n−1∑k=13k
  3. n−1∑k=23k
  4. n∑k=23k−1
  5. n∑k=132k−1

  1. \begin{align} \sum_{k=1}^{n}3^k&=\underbrace{3^1+3^2+3^3+\cdots+3^n}_{n個}\\ &=\frac{3(1-3^n)}{1-3}=\boldsymbol{\frac{3(3^n-1)}{2}} \end{align}
  2. \begin{align} \sum_{k=1}^{n-1}3^k&=\underbrace{3^1+3^2+3^3+\cdots+3^{n-1}}_{n-1個}\\ &=\frac{3(1-3^{n-1})}{1-3}=\boldsymbol{\frac{3(3^{n-1}-1)}{2}} \end{align}
  3. \begin{align} \sum_{k=2}^{n-1}3^k&=\underbrace{3^2+3^3+3^4+\cdots+3^{n-1}}_{n-2個}\\ &=\frac{3^2(1-3^{n-2})}{1-3}=\boldsymbol{\frac{9(3^{n-2}-1)}{2}} \end{align}
  4. \begin{align} \sum_{k=2}^{n}3^{k-1}&=\underbrace{3^1+3^2+3^3+\cdots+3^{n-1}}_{n-1個}\\ &=\frac{3(1-3^{n-1})}{1-3}=\boldsymbol{\frac{3(3^{n-1}-1)}{2}}\\ &\blacktriangleleft 2. と同じ答えである \end{align}
  5. \begin{align} \sum_{k=1}^{n}3^{2k-1}&=\underbrace{3^1+3^3+3^5+\cdots+3^{2n-1}}_{n個}\\ &=3+3\cdot9+3\cdot9^2+\cdots+3\cdot9^{n-1}\\ &=\frac{3(1-9^n)}{1-9}=\boldsymbol{\frac{3(9^n-1)}{8}} \end{align}

吹き出し無題

繰り返しになるが， \sum c^{(kの1次式)} タイプの和は，等比数列の和として求めることができる．和を求める際には，数列の和を一度書き下してみて，初項と公比と項数をチェックすればよい．