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等差数列の和の求め方

ここでは，等差数列の初項 a から第 n 項までの和 Sn を求めてみよう．

STEP1

等差数列の一般項 an=a+(n−1)d に， 1,2,⋯,n−1,n を代入して足し合わせる式を書く．

12Sn=a+(a+d)3+(a+2d)+⋯n-2n-1+{a+(n−3)d}+{a+(n−2)d}n+{a+(n−1)d}

STEP2

この式の右辺を，逆に並べて書く．

nn-1Sn={a+(n−1)d}+{a+(n−2)d}n-2+{a+(n−3)d}+⋯32+(a+2d)+(a+d)1+a

STEP3

上の2式を縦に足し合わせる．

右辺は全て 2a+(n−1)d であり，これが n 個存在するので

2Sn={2a+(n−1)d}×nSn=n2{2a+(n−1)d}

と表すことができる．これが求めたかった等差数列の初項 a から第 n 項までの和 Sn である．

なお， 2a+(n−1)d=a1+an より

Sn=n2(a1+an)

と表すこともできる．

以上，等差数列の和についてまとめておこう．

等差数列の和

初項 a ，公差 d の等差数列の，初項から第 n 項までの和 Sn は

Sn=n2{2a+(n−1)d}=n2(a1+an)

と表せる．

吹き出し無題

等差数列の和の公式は

(等差数列の和)=項数2×((初項)+(末項))

と覚えておくとよい．つまり，等差数列の和は「項数」と「初項」と「末項」という3 つの要素がわかれば求めることができる．

等差数列の和～その１～

次の等差数列 {an} の初項から第 n 項までの和 Sn を求めよ．また， S10 を求めよ．

  1. 2,5,8,11,14,⋯
  2. 100,98,96,94,92,⋯

  1. 初項が2，公差が3の等差数列だから，この数列の般項 an は
    2. an=2+(n−1)3=3n−1

    よって，初項から第 n 項までの和 Sn は

    S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\boldsymbol{\frac{n(3n+1)}{2}}

    また，初項から第10項までの和 S_{10} は

    S_{10}=\frac{10\cdot(3\cdot10+1)}{2}=\boldsymbol{155}
  2. 初項が100，公差が-2の等差数列だから，この数列の一般項 a_n は
    3. a_n=100+(n-1)\cdot(-2)=-2n+102

    よって，初項から第 n 項までの和 S_n は

    S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\boldsymbol{n(101-n)}

    また，初項から第10項までの和 S_{10} は

    S_{10}=10\cdot(101-10)=\boldsymbol{910}

等差数列の和～その２～

1から50までの整数のうち，次のような数の和を求めよ．

  1. 2の倍数
  2. 3の倍数
  3. 2または3の倍数

  1. A_2=\{2,4,6,\cdots,50\} は，初項2，項数25，末項50の等差数列であるから，求める和 S_2 は
    2. S_2=\frac{1}{2}\cdot25(2+50)=\boldsymbol{650}
  2. A_3=\{3,6,9,\cdots,48\} は，初項3，項数16，末項48の等差数列であるから，求める和 S_3 は
    3. S_3=\frac{1}{2}\cdot16(3+48)=\boldsymbol{408}
  3. 2または3の倍数の和 S は， S=S_2+S_3-S_6 で与えられるので， S_6 を求めればよい． A_6=\{6,12,18,\cdots,48\} は，初項6，項数8，末項48の等差数列であるから， S_6 は
    4. S_6=\frac{1}{2}\cdot8(6+48)=216

    よって

    S_6=650+408−216=\boldsymbol{842}

等差数列の和の最大値

一般項 a_n が a_n=−6n+120 である数列 \{a_n\} について，以下の問に答えよ．

  1. 初めて負になる項は第何項目か．
  2. 初項からの和が最大になるのは，第何項目までの和か．また，その和の最大値を求めよ．

  1. a_n=-6n+120 が負になるのは
    2. \begin{align} &-6n+120\lt0\\ \Leftrightarrow\ &6n\gt120\\ \Leftrightarrow\ &n\gt20 \end{align}

    つまり， n=21 のとき a_n は負となる．よって，初めて負になるのは \boldsymbol{第21項目} である．

  2. 1. より，初項から第20項までの項は，すべて正，あるいは0なので， S_{20} が初項からの和の最大値となる．また， a_{20}=0 であるから， S_{20}=S_{19} であり，こちらも最大値である．よって，和が最大になるのは， \boldsymbol{第19項目または第20項目} である．

    3. このとき，最大値は

    \begin{align} S_{19}&=\frac{19}{2}\cdot(a_1+a_{19})\\ &=\frac{19}{2}\cdot(114+6)\\ &=\boldsymbol{1140}\\ \blacktriangleleft S_{20}&=\frac{20}{2}\cdot(a_1+a_{20})\\ &=\frac{20}{2}\cdot(114+0)\\ &=1140 \end{align}

    【別解】

    一般項が a_n=-6n+120 である等差数列の和 S_n は

    \begin{align} S_n&=\frac{n}{2}\{114+(-6n+120)\}\\ &=\frac{1}{2}(-6n+234)\\ &=-3n^2+117n \end{align}

    となり， S_n が2次関数で与えられていることがわかる．下図のグラフより， n が整数であることに注意すると，この S_n が最大値をとるのは \boldsymbol{n=19,20} のときである．