増減表の書き方
導関数の符号の変化がわかると、かなり正確なグラフを描くことができるようになる。ここでは、関数の増減をまとめるための増減表 (table of increasing and decreasing) の書き方について、次の例題を通じて学んでいこう。
導関数を利用したグラフの書き方
関数 $f(x)=x^3-6x^2+9x$ において、次の問いに答えよ。
- $f'(x)$ を求めよ。
- $f'(x)=0$ となる $x$ の値を求めよ。
- $f'(x)\gt0$ となる $x$ の値の範囲、および $f'(x)\lt0$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。
- $f'(x)=0$ となるときの、$f(x)$ の値を求めよ。
- 1～4を利用して、下の増減表の空欄を埋めよ。
ただし$x$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $f'(x)$ $f(x)$ - $x$ の欄には、2で求めた値
- $f'(x)$ の欄には、$-$、$0$、$+$ のいずれか
- $f(x)$ の欄には $\nearrow$ （増加を表す記号）、$\searrow$ （減少を表す記号）、値が入る。
- 5を利用して、$y=f(x)$ のグラフを描け。
- $f(x)=x^3-6x^2+9x$ を微分すると \[f'(x)=\boldsymbol{3x^2-12x+9}\] となる。
- 1より \begin{align} f'(x)=&3x^2-12x+9\\ =&3(x-1)(x-3) \end{align} と因数分解できるので、$f'(x)=0$ となる $x$ は、$x=\boldsymbol{1,~3}$。
- $\blacktriangleleft$ 下のように $y=f'(x)$ のグラフを考えてもよいまず、2より $f'(x)=0$ となる $x$ は $1,3$ であり、これを数直線上に表すと
となる。これより
- (1)つまり $x\lt1$ のとき \[f'(x)=3\underbrace{(x-1)}_{負}\underbrace{(x-3)}_{負}\] となり、$f'(x)\gt0$ となるのがわかる。
- (2)つまり $1\lt{x}\lt3$ のとき \[f'(x)=3\underbrace{(x-1)}_{正}\underbrace{(x-3)}_{負}\] となり、$f'(x)\lt0$ となるのがわかる。
- (3)つまり $3\lt{x}$ のとき \[f'(x)=3\underbrace{(x-1)}_{正}\underbrace{(x-3)}_{正}\] となり、$f'(x)\gt0$ となるのがわかる。
- 2より、$f'(x)=0$ となるのは、$x=1,~3$ のときだから \[f(1)=1^3-6\cdot1^2+9\cdot1=\boldsymbol{4}\] \[f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot3=\boldsymbol{0}\] と求まる。
$\boldsymbol{\text{STEP}1}$ $\boldsymbol{x}$ の欄を埋める
ここには、$f'(x)=0$ となる $x$ を入れる。2の結果より
となる。$x$ $\cdots$ $\boldsymbol{1}$ $\cdots$ $\boldsymbol{3}$ $\cdots$ $f'(x)$ $f(x)$ $\boldsymbol{\text{STEP}2}$ $f'(x)$ の欄を埋める
$\text{STEP}1$ で埋めた欄のすぐ下の欄には $0$ が入る。なぜなら、$\text{STEP}1$ で埋めた $x$ の値は、$f'(x)$ が $0$ になるときの $x$ の値だからである。また、それ以外の部分には3の結果を利用して正ならば $+$、負ならば $-$ を埋める。
$x$ $\cdots$ $1$ $\cdots$ $3$ $\cdots$ $f'(x)$ $\boldsymbol{+}$ $\boldsymbol{0}$ $\boldsymbol{-}$ $\boldsymbol{0}$ $\boldsymbol{+}$ $f(x)$ $\boldsymbol{\text{STEP}3}$ $f(x)$ の欄を埋める
$\text{STEP}2$ より $x=1$ や $x=3$ の値の前後では、$f'(x)$ の符号が変わっているので、$f(x)$ は $x=1$ で極大、$x=3$ で極小となる。まず、4で得た極大値 $f(1)=4$ や、極小値 $f(3)=0$ を増減表に埋める。
$x$ $\cdots$ $1$ $\cdots$ $3$ $\cdots$ $f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $f(x)$ $\boldsymbol{4}$ $\boldsymbol{0}$ 最後に $f'(x)$ が $+$ の欄の下には、$f(x)$ が増加するという意味で $\nearrow$、$f'(x)$ が $-$ の欄の下には、$f(x)$ が減少するという意味で $\searrow$ を書き加えて増減表が完成する。
$x$ $\cdots$ $1$ $\cdots$ $3$ $\cdots$ $f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $f(x)$ $\nearrow$ $4$ $\searrow$ $0$ $\nearrow$
- $\blacktriangleleft$ $f(0)=0$ なので、$y=f(x)$ のグラフは原点 $(0,~0)$ を通ることに注意5で得られた増減表を利用して $y=f(x)$ のグラフを描くと、以下のようになる。
導関数を利用したグラフの描画
次の各々の関数において、$y=f(x)$ のグラフを描け。
- $f(x)=x^3-x^2-x+2$
- $f(x)=-x^3+3x$
- $f(x)=x^3-2x^2+2x-1$
- $f(x)=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{3}{2}x^2-2x+2$
$f(x)$ を微分すると \begin{align} f'(x)=&3x^2-2x-1\\ =&(3x+1)(x-1) \end{align} これより、増減表は
となる。ここで、$f\left(-\dfrac{1}{3}\right)$、$f(1)$ の値は \begin{align} f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=&\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2\\ &\qquad-\left(-\dfrac{1}{3}\right)+2\\ =&\dfrac{59}{27} \end{align} \[f(1)=1^3-1^2-1+2=1\] である。$x$ $\cdots$ $-\dfrac{1}{3}$ $\cdots$ $1$ $\cdots$ $f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $f(x)$ $\nearrow$ $f\left(-\dfrac{1}{3}\right)$ $\searrow$ $f(1)$ $\nearrow$ 
以上より、$y=f(x)$ のグラフは、右図のようになる。
$f(x)$ を微分すると \begin{align} f'(x)=&-3x^2+3\\ =&-3(x+1)(x-1) \end{align} これより、増減表は
となる。ここで、$f(-1)$、$f(1)$ の値は \[f(-1)=-(-1)^3+3\cdot(-1)=-2\] \[f(1)=-1^3+3\cdot1=2\] である。$x$ $\cdots$ $-1$ $\cdots$ $1$ $\cdots$ $f'(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $f(x)$ $\searrow$ $f(-1)$ $\nearrow$ $f(1)$ $\searrow$ 
以上より、$y=f(x)$ のグラフは、右図のようになる。
$f(x)$ を微分すると \[f'(x)=3x^2-4x+2\] ここで、$3x^2-4x+2$ の判別式 $D/4$ は \[\dfrac{D}{4}=2^2-3\cdot2=-2\lt0\] なので、$f'(x)$ はつねに正である。
よって、$y=f(x)$ のグラフは、右図のようになる。
$f(x)$ を微分すると
$\blacktriangleleft$ $f'(-1)=0$ なので『因数定理』(p.63) を利用して因数分解した。\begin{align} f'(x)=&x^3-3x-2\\ =&(x+1)^2(x-2) \end{align} これより、増減表は
となる。ここで、$f(-1)$、$f(2)$ の値は \begin{align} f(-1)=&\dfrac{1}{4}\cdot(-1)^4-\dfrac{3}{2}\cdot(-1)^2\\ &\qquad-2\cdot(-1)+2\\ =&\dfrac{11}{4}\\ f(2)=&\dfrac{1}{4}\cdot2^4-\dfrac{3}{2}\cdot2^2-2\cdot2+2\\ =&-4 \end{align} である。$x$ $\cdots$ $-1$ $\cdots$ $2$ $\cdots$ $f'(x)$ $-$ $0$ $-$ $0$ $+$ $f(x)$ $\searrow$ $f(-1)$ $\searrow$ $f(2)$ $\nearrow$ 
以上より、$y=f(x)$ のグラフは、右図のようになる。