桁数と最高位の数の評価
桁数と最高位の数の評価
$\log_{10}2\fallingdotseq0.3010,\log_{10}3\fallingdotseq0.4771$を利用して次の問いに答えよ．
- $5^{101}$は何桁の整数か求めよ．また，$5^{101}$の最高位の数を求めよ．
- $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{20}$は小数第何位にはじめて$0$でない数があらわれるか求めよ． また，その数はいくつか求めよ．
- $5^{101}$の常用対数を考えると
\begin{align}
&\log_{10}5^{101}\\
&=101\log_{10}5\\
&=101(\log_{10}10-\log_{10}2)\\
&=101(1-0.3010)\\
&=70.599
\end{align}
より，$5^{101}=10^{70.599}$とわかる．
ここで，$10^{70.599}は10^{0.599+70}$だから
\begin{align} \underbrace{10^{0.599}}_{A}\times\underbrace{10^{70}}_{B} \end{align}と2つの部分に分けることができ，$A$の部分は
\begin{align} (1=)~~10^0\leqq10^{0.599}<10^1~~(=10) \end{align}を満たすので，$B$の指数部分から，$10^{0.599}\times10^{70}$つまり$5^{101}$は
$71$桁
とわかる．
←指数を使って数を表す方法〜その1〜
さらに
\begin{align} &1=10^0\\ &2=10^{0.3010}\\ &3=10^{0.4771}\\ &4=2^2=10^{0.3010\times2}=10^{0.6020} \end{align}などと求まるが，いま$A$の部分は
\[(3=)~10^{0.4771}\lt10^{0.599}\lt10^{0.6020}~(=4)\]を満たすので，$10^{0.599}=3.\cdots$となり，$5^{101}$の最高位の数は$\boldsymbol{3}$とわかる．
←$5^{101}=10^{0.599}\times10^{70}=3.\cdots\times10^{70}$
- $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{20}$の常用対数を考えると
\begin{align}
&\log_{10}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{20}\\
&=\log_{10}3^{-20}\\
&=-20\log_{10}3\\
&=-20\times0.4771\\
&=-9.542
\end{align}
より，$5^{101}=10^{-9.542}$とわかる．
ここで，$10^{-9.542}は10^{0.458-10}$だから
\begin{align} \underbrace{10^{0.458}}_{A}\times\underbrace{10^{-10}}_{B} \end{align}と2つの部分に分けることができ，$A$の部分は
\begin{align} (1=)~~10^0\leqq10^{0.458}<10^1~~(=10) \end{align}を満たすので，$B$の指数部分から，$10^{0.458}\times10^{-10}$つまり$5^{101}$は
小数第10位
にはじめて$0$でない数字があらわれる．
←指数を使って数を表す方法〜その2〜
さらに
\begin{align} &1=10^0\\ &2=10^{0.3010}\\ &3=10^{0.4771} \end{align}などと求まるが，いま$A$の部分は
\[(2=)~10^{0.3010}\lt10^{0.458}\lt10^{0.4771}~(=3)\]を満たすので，$10^{0.458}=2.\cdots$となり，$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{20}$の求める数は$\boldsymbol{2}$とわかる．
\begin{align} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{20}&=10^{0.458}\times10^{-10}\\ &=2.\cdots\times10^{-10} \end{align}