直線の平行と垂直について
無題

無題

中学で学んだように,2本の直線が平行であるとは傾きが一致することであった.
では,2本の直線y=m1x+n1,y=m2x+n2が直交するときはどうだろうか. このとき,図のように,直線を平行移動しても交点の作る角は変わらないので, 原点を通る2直線y=m1x,y=m2xが直交していることが分かる.
図のように,x座標が1の点を,それぞれの直線上にとる. このとき,∠AOH=90∘−∠BOH=∠OBHであるので, 2つの直角三角形△AOHと△OBHは相似である.よって
AH:HO=OH:HB⇔ m1:1=1:(−m2)⇔ m1m2=−1が成り立つ.これは,逆も成立する.
直線の平行と垂直
2直線y=m1x+n1,y=m2x+n2
(m1≠0, m2≠0)について
「互いに平行」⇔m1=m2
「互いに直交」⇔m1m2=−1
である.
吹き出し直線の平行と垂直について
「傾きmの直線と直交するのは傾き−1mの直線」または 「傾きの符号を変えて,逆数をとれば直交する」のように記憶するとよい.
与えられた点を通り与えられた直線に直交する直線の方程式
(−1,2)を通り直線y=3に直交する直線を図示し,方程式を求めよ.
(3,2)を通り直線y = 3x – 4に直交する直線の方程式を求めよ.
(1, − 2)を通り直線x − 2y + 3 = 0に直交する直線の方程式を求めよ.
無題

図のようになるので,求める方程式は
x=-1
傾き3の直線に直交するのは傾き-\dfrac{1}{3}の直線なので
y-2=-\dfrac{1}{3}(x-3) \blacktriangleleft1点と傾きが与えられた直線の方程式
直線x − 2y + 3 = 0はy=\dfrac{1}{2} x +\dfrac{3}{2}と変形でき,傾きは\dfrac{1}{2}. これと直交する直線の傾きは− 2なので
y-(-2)=-2(x_1)~~\Leftrightarrow~~ \boldsymbol{y=-2x}