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直線の平行と垂直について

無題

無題

無題

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中学で学んだように,2本の直線が平行であるとは傾きが一致することであった.

では,2本の直線y=m1x+n1,y=m2x+n2が直交するときはどうだろうか. このとき,図のように,直線を平行移動しても交点の作る角は変わらないので, 原点を通る2直線y=m1x,y=m2xが直交していることが分かる.

図のように,x座標が1の点を,それぞれの直線上にとる. このとき,AOH=90BOH=OBHであるので, 2つの直角三角形AOHOBHは相似である.よって

AH:HO=OH:HB  m1:1=1:(m2)  m1m2=1

が成り立つ.これは,逆も成立する.

直線の平行と垂直

2直線y=m1x+n1,y=m2x+n2
m10, m20について

「互いに平行」m1=m2

「互いに直交」m1m2=1

である.

吹き出し直線の平行と垂直について

「傾きmの直線と直交するのは傾き1mの直線」または 「傾きの符号を変えて,逆数をとれば直交する」のように記憶するとよい.

与えられた点を通り与えられた直線に直交する直線の方程式

  1. (1,2)を通り直線y=3に直交する直線を図示し,方程式を求めよ.

  2. (3,2)を通り直線y = 3x – 4に直交する直線の方程式を求めよ.

  3. (1, − 2)を通り直線x − 2y + 3 = 0に直交する直線の方程式を求めよ.

無題

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  1. 図のようになるので,求める方程式は

    x=-1

  2. 傾き3の直線に直交するのは傾き-\dfrac{1}{3}の直線なので

    y-2=-\dfrac{1}{3}(x-3) \blacktriangleleft1点と傾きが与えられた直線の方程式

  3. 直線x − 2y + 3 = 0y=\dfrac{1}{2} x +\dfrac{3}{2}と変形でき,傾きは\dfrac{1}{2}. これと直交する直線の傾きは− 2なので

    y-(-2)=-2(x_1)~~\Leftrightarrow~~ \boldsymbol{y=-2x}