剰余の定理

多項式 $f(x)$ の $x$ に数 $a$ を代入したときの $f(x)$ の値を $f(a)$ と書く．

たとえば， $f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1$ とすると

$\begin{align} &f(1)=1^3+2\cdot2^2+3\cdot1+1=7\\ &f(0)=0^3+2\cdot0^2+3\cdot0+1=1\\ &f(2)=2^3+2\cdot2^2+3\cdot2+1=23 \end{align}$

である．

剰余の定理のための補題

$f(x) = x^4 − 3x^2 + 5x – 8$ とする．

$f(x)$ を $x – 2$ で割ったときの余りを求めよ．
$f(2)$ の値を計算せよ．

剰余の定理のための補題の解答

無題

割り算を実行すると
$\begin{align} f(x)=(x-2)(x^3+2x^2+x+7)+6 \end{align}$ 　　　　 $\blacktriangleleft$ 組立除法を使うなら図
となるので，余りは $\boldsymbol{6}$ である．
$f(2)=2^4-3\cdot2^2+5\cdot2-8=\boldsymbol{6}$

上の例題では， $f(x)$ を $x – 2$ で割ったときの余りと， $f(2)$ の値が等しくなっているが，これは，偶然に一致したわけではなく，次の理由による．

多項式 $f(x)$ を1次式 $x – a$ で割ったときの商を $Q(x)$ ，余りを $r$ とすると， $r$ は定数であり

$\begin{align} f(x)=(x-a)Q(x)+r \end{align}$

が成り立つ．この式に $x = a$ を代入すると

$\begin{align} f(a)=(a-a)Q(a)+r=r \end{align}$

となり， $f(a)$ が $f(x)$ を $x – a$ で割ったときの余り $r$ と等しいことがわかる．

剰余の定理

多項式 $f(x)$ を $x – a$ で割ったときの余りは $f(a)$ である．

剰余の定理の確認問題

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの余りだけ求めよ（商は求めなくてよい）．

$x^2+2x+1，x-1$
$x^3+3，x+1$
$x^3-4x^2-2x+5，x-2$
$x^3-2x^2-x+6，x-3$

剰余の定理の確認問題の解答

剰余の定理より， $f(1)=\boldsymbol{4}$
剰余の定理より， $f(-1)=\boldsymbol{2}$
剰余の定理より， $f(2)=\boldsymbol{-7}$
剰余の定理より， $f(3)=\boldsymbol{12}$

吹き出し剰余の定理

余りを求めるだけならば剰余の定理が大変な威力を発揮する．

暗記剰余の定理の拡張

多項式 $f(x)$ を1次式 $ax + b$ で割ったときの余りは $f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$ であることを証明せよ．

剰余の定理の拡張の解答

$f(x)$ を1次式 $ax + b$ で割ったときの商を $Q(x)$ ，余りを $r$ とすると， $r$ は定数であり，次の関係式が成り立つ．

$\begin{align} f(x)=(ax+b)Q(x)+r \end{align}$

この式の $x$ に $-\dfrac{b}{a}$ を代入すると

$\begin{align} &f\left(-\dfrac{b}{a}\right) \\ =&\left\{a\cdot\left(-\dfrac{b}{a}\right)+b\right\}Q\left(-\dfrac{b}{a}\right)+r\\ =&(-b+b)Q\left(-\dfrac{b}{a}\right)+r\\ =&r \end{align}$

となり， $f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$ と余り $r$ が等しいことが分かる．

剰余の定理の拡張

多項式 $f(x)$ を1次式 $ax + b$ で割ったときの余りは $f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$ となる．

剰余の定理の利用

次の各問に答えよ．

多項式 $f(x)$ を $x – 1$ で割ると $2$ 余り， $x – 2$ で割ると $3$ 余る． $f(x)$ を $(x − 1)(x − 2)$ で割ったときの余りを求めよ．
多項式 $f(x)$ を $x – 1$ で割ると $3$ 余り， $(x − 2)(x − 3)$ で割ると $3x – 2$ 余る． $f(x)$ を $(x − 1)(x − 2)(x − 3)$ で割ったときの余りを求めよ．
多項式 $f(x)$ を $x – 1$ で割ると $2$ 余り， $(x − 2)^2$ で割ると $3x – 2$ 余る． $f(x)$ を $(x − 1)(x − 2)^2$ で割ったときの余りを求めよ.

剰余の定理の利用の解答

【解1：除法の式を変形して解く】
$f(x)$ を $x – 1$ で割ったときの商を $Q_1(x)$ とすると，余りが $2$ だから
$\begin{align} f(x)=(x-1)Q_1(x)+2 \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 多項式の除法の一意性より
とおける．さらに， $Q_1(x)$ を $x – 2$ で割ったときの商を $Q_2(x)$ ，余りを $a$ とすると
$\begin{align} f(x) &=(x-1)\left\{Q_2(x)(x-2)+a\right\}+2 \\ &=(x-1)(x-2)Q_2(x)\\ &\qquad\qquad\qquad+ax+2-a \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 2) + a$ である
ここで，剰余の定理より
$\begin{align} &f(2)=2a+2-a=3 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft f(2) = 3$ を使った
となる．よって，求める余りは $\boldsymbol{x+1}$ である．
【解2：余りの多項式をおく】 $f(x)$ を $(x − 1)(x − 2)$ で割ったときの，商を $Q_3(x)$ ，余りを $ax + b$ とすると
$\begin{align} f(x)=(x-1)(x-2)Q_3(x)+ax+b \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 多項式の除法の一意性より
である．ここで，剰余の定理より
$\left(f(1)=\right)a+b=2　　　　\blacktriangleleft f(1) = 2$ を使った
$\left(f(2)=\right)2a+b=3　　　\blacktriangleleft f(2) = 3$ を使った
これを解くと $a = 1，b = 1$ であるから，求める余りは $\boldsymbol{x+1}$ である．
【解1：除法の式を変形して解く】
$f(x)$ を $(x − 2)(x − 3)$ で割ったときの商を $Q_1(x)$ とすると，余りが $3x – 2$ だから
$\begin{align} f(x)=(x-2)(x-3)Q_1(x)+3x-2 \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 多項式の除法の一意性より
とおける．さらに， $Q_1(x)$ を $x – 1$ で割ったときの商を $Q_2(x)$ ，余りを $a$ とすると
$\begin{align} f(x) &=(x-2)(x-3)\left\{Q_2(x)(x-1)\right.\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \left. +a\right\}\\ &\qquad+3x-2 \\ &=(x-1)(x-2)(x-3)Q_2(x)\\ &\qquad+a(x-2)(x-3)+3x-2 \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 1) + a$ である.
である．ここで，剰余の定理より
$\begin{align} &f(1)=a(-1)(-2)+3-2=3 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft f(1) = 3$ を使った
となる．よって，求める余りは $(x-2)(x-3)+3x-2=\boldsymbol{x^2-2x+4}$ である．
【解2:余りの多項式をおく】 $f(x)$ を $(x − 1)(x − 2)(x − 3)$ で割ったときの，商を $Q_3(x)$ ，余りを $ax^2 + bx + c$ とすると
$\begin{align} &f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q_4(x)\\ &\qquad+ax^2+bx+c \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 多項式の除法の一意性より
ここで，剰余の定理より $f(1) = 3，f(2) = 4，f(3) = 7$ なので
$\left(f(1)=\right)a+b+c=3　　　\blacktriangleleft f(1) = 3$ を使った
$\left(f(2)=\right)4a+2b+c=4　　\blacktriangleleft f(2) = 4$ を使った
$\left(f(3)=\right)9a+3b+c=7　　\blacktriangleleft f(3) = 7$ を使った
これを解くと $a = 1，b = − 2，c = 4$ であるから，求める余りは $\boldsymbol{x^2-2x+4}$ である．
【解1：除法の式を変形して解く】
$f(x)$ を $(x − 2)^2$ で割ったときの商を $Q_1(x)$ とすると，余りが $3x – 2$ だから
$\begin{align} f(x)=(x-2)^2Q_1(x)+3x-2 \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 多項式の除法の一意性より
とおける．さらに， $Q_1(x)$ を $x – 1$ で割ったときの商を $Q_2(x)$ ，余りを $a$ とおくと，
$\begin{align} f(x) &=(x-2)^2\left\{Q_2(x)(x-1)+a\right\}\\ &\qquad+3x-2 \\ &=(x-1)(x-2)^2Q_2(x)\\ &\qquad\qquad+a(x-2)^2+3x-2 \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft Q_1(x) = Q_2(x)(x − 1) + a$ である
ここで，剰余の定理より
$\begin{align} &f(1)=a(-1)^2+3-2=2 \\ \therefore~ &a=1 \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft f(1) = 2$ を使った
であるから，求める余りは $(x-2)^2+3x-2=\boldsymbol{x^2-x+2}$ である．
【解2：余りの多項式をおく（微分法を使う）】
$f(x)$ を $(x − 2)^2$ で割ったときの商を $Q_1(x)$ とすると，余りが $3x – 2$ だから
$\begin{align} f(x)=(x-2)^2Q_1(x)+3x-2 \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 多項式の除法の一意性より
とおける．この式を $x$ で微分すると
$\begin{align} &f'(x) \\ =&(x-2)Q_1(x)+(x-2)^2{Q_1}'(x)+3 \\ =&(x-2)\left\{Q_1(x)+(x-2){Q_1}'(x)\right\}+3 \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 微分の計算法則の関数の積の微分法を使った
$Q_1(x) + (x − 2)Q_1'(x)$ は多項式なので，これを $Q_2(x)$ とおくと
$f'(x)=(x-2)Q_2(x)+3$
$\therefore~ f'(2)=3$
$\tag{1}\label{zyouyonoteirinoriyou}$
いま， $f(x)$ を $(x − 1)(x − 2)^2$ でわったときの商を $Q_3(x)$ ，余りを $ax^2 + bx + c$ とおくと，
$f(x)=(x-1)(x-2)^2Q_3(x)$
$+ax^2+bx+c$
$f'(x)=((x-2)$ を因数に持つ多項式 $)+2ax+b$
であるから
$\begin{align} f'(2)=4a+b=3 \end{align}$ 　　　　　　　 $\blacktriangleleft\eqref{zyouyonoteirinoriyou}$ を使った
さらに，剰余の定理より
$f(1)=a+b+c=2 \blacktriangleleft f(1) = 2$ を使った
$f(2)=4a+2b+c=4 \blacktriangleleft f(2) = 4$ を使った
これを解くと $a = 1，b = − 1，c = 2$ であるから，求める余りは $\boldsymbol{x^2-x+2}$ である．