多項式の除法について

整数の除法に続き,今度は多項式の除法(polynomial division)について考えてみる.

たとえば,「$x^3 – x^2 + 2x – 3$を$x^2 + 2x – 1$で割る」とは

\begin{align} &x^3-x^2+2x-3\\ =&(x^2+2x-1)Q(x)+r(x) \end{align}

と変形することであると定義する. ただし,このとき$Q(x),r(x)$は共に$x$の多項式であり,$deg(x^2 + 2x − 1) \gt deg \ r(x)$であるとする. この結果の$Q(x)$と$r(x)$をそれぞれ, 多項式の除法における商(quotient) 余り(remainder)と呼ぶ.

多項式の除法

多項式$f(x),g(x)$において

\begin{align} &f(x)=g(x)Q(x)+r(x)\\ &\qquad\left(\deg \ r(x) \lt \deg \ g(x)\right) \end{align}

と変形できたとき,$Q(x)$を商,$r(x)$を余りという.

特に,余り$r(x)$が$0$のとき,$f(x)$は$g(x)$で割り切れるという.

さきほどの例では,商$Q(x)$は$x – 3$,余り$r(x)$は$9x – 6$となる.つまり

\begin{align} &x^3-x^2+2x-3\\ =&(x^2+2x-1)\times(x-3)+(9x-6) \end{align}

となる.各自,以下の2点について確認しておこう.

  1. 上の式の右辺を展開すると左辺と等しいこと
  2. $x^2 + 2x – 1$の次数が余り$9x – 6$の次数より大きいこと

以下では,多項式の除法の計算方法についてみていく.