相加平均とは何か

日常では,たとえば数学のテストが60点,英語のテストが80点だったとすると,足して2で割る,すなわち次の計算

\begin{align} \frac{60+80}{2}=70 \end{align}

によって平均点を出す.

また,3教科の場合,たとえば数学のテストが60点,英語のテストが80点,国語のテストが40点だったとすると

\begin{align} \frac{60+80+40}{3}=60 \end{align}

という計算によって,平均点60点を出す.

このような,平均のとり方を相加平均といい,一般には次のようにまとめられる.

相加平均

$n$ 個の $0$ 以上の数 $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ において

\begin{align} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \end{align}

を, $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ の相加平均(artithmetic mean)という.

特に, $n = 2$ のとき $\dfrac{a_1+a_2}{2}$ であり, $n = 3$ のとき$\dfrac{a_1+a_2+a_3}{3}$ である.

相加平均

次の値の相加平均を求めよ.

  1. $24,56$
  2. $ \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3} $
  3. $ \dfrac{3}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{5}{4}$
  4. $1,\sqrt{3},\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

  1. $\dfrac{24+56}{2}=\dfrac{80}{2}=\boldsymbol{40} $
  2. $ \dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{2}=\dfrac{\dfrac{5}{6}}{2}=\boldsymbol{\dfrac{5}{12}} $
  3. $ \dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{4}}{3}=\dfrac{\dfrac{18+4+15}{12}}{3}$
    $\qquad\qquad\qquad=\dfrac{\dfrac{37}{12}}{3}=\boldsymbol{\dfrac{37}{36}} $
  4. $ 1+\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{3}=\dfrac{3+3\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}$ より、
    $\qquad\qquad\qquad\boldsymbol{\dfrac{3+3\sqrt{3}+\sqrt{2}}{9}}$