方べきの定理

方べきの定理

方べきの定理

方べきの定理には,主に次の2つがある.

  1. 1つの円における2つの弦 $\mathrm{AB},\mathrm{CD}$ の交点,またはそれらの延長の交点を $\mathrm{P}$ とすると,
  2. \[\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot\mathrm{PD}\]

    が成り立つ.

  3. 円の外部の点 $\mathrm{P}$ から円に引いた接線の接点を $\mathrm{T}$ とする. $\mathrm{P}$ を通ってこの円と2点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ で交わる直線を引くと,
  4. \[\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\mathrm{PT}^2\]

    が成り立つ.

方べきの定理

次の図において, $x$ の値を求めよ.ただし,Tは円の接点とする.

  1. $4\cdot4=8x$ , $\boldsymbol{x=2}$
  2. $(x+6)\cdot{x}=5\cdot8,x^2+6x-40=0$
  3. $x\gt0$ より, $\boldsymbol{x=4}$

  4. $6\cdot10=x^2$
  5. $x\gt0$ より, $\boldsymbol{x=2\sqrt{15}}$