$(a+b)^5$の展開式

以上の例から， $(a+b)^5$ の展開式における各項の係数は，それぞれ次のようになるのがわかる．

$a^5$ の係数は5つの $(a+b)$ のうち0ヶ所から $b$ を選ぶと考えて $_{5}\mathrm{C}_{0}$

$a^4b$ の係数は5つの $(a+b)$ のうち1ヶ所から $b$ を選ぶと考えて $_{5}\mathrm{C}_{1}$

$a^3b^2$ の係数は5つの $(a+b)$ のうち2ヶ所から $b$ を選ぶと考えて $_{5}\mathrm{C}_{2}$

$a^2b^3$ の係数は5つの $(a+b)$ のうち3ヶ所から $b$ を選ぶと考えて $_{5}\mathrm{C}_{3}$

$ab^4$ の係数は5つの $(a+b)$ のうち4ヶ所から $b$ を選ぶと考えて $_{5}\mathrm{C}_{4}$

$b^5$ の係数は5つの $(a+b)$ のうち5ヶ所から $b$ を選ぶと考えて $_{5}\mathrm{C}_{5}$

つまり

$$\begin{align} (a+b)^5&=\ _{5}\mathrm{C}_{0}a^5+\ _{5}\mathrm{C}_{1}a^4b+\ _{5}\mathrm{C}_{2}a^3b^2\\ &\qquad+\ _{5}\mathrm{C}_{3}a^2b^3+\ _{5}\mathrm{C}_{4}ab^4+\ _{5}\mathrm{C}_{5}b^5 \end{align}$$

となる．