絶対値を含む関数・方程式

「絶対値」で学んだことを使って、絶対値を含む2次関数や2次方程式・不等式にして考えていこう。

絶対値を含む2次関数

次の式で与えられた関数のグラフを描け。

  1. $y=2x-|x^2-4|$
  2. $y=|x^2-4x-6|$


    1. \begin{align} &x^2-4\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x-2)\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x\leqq{-2}~,~2{\leqq}x \end{align} のとき、$|x^2-4|=x^2-4$ なので \begin{align} y=&2x-(x^2-4)\\ =&-x^2+2x+4\\ =&-(x-1)^2+5 \end{align}

    2. $x^2-4\lt0$、つまり $-2\lt{x}\lt2$ のとき、$|x^2-4|=-(x^2-4)$ であるので \begin{align} y=&2x+(x^2-4)\\ =&x^2+2x-4\\ =&(x+1)^2-5 \end{align}

    1のグラフ
    以上i,iiより、グラフは右図のようになる。

    1. $x^2-4x-6\geqq0$、つまり $x\leqq{2}-\sqrt{10}~,~2+\sqrt{10}\leqq{x}$ のとき、$|x^2-4x-6|=x^2-4x-6$ なので \begin{align} y=&x^2-4x-6\\ =&(x-2)^2-10 \end{align}

    2. $x^2-4x-6\lt0$、つまり $2-\sqrt{10}\lt{x}\lt2+\sqrt{10}$ のとき、$|x^2-4x-6|=-(x^2-4x-6)$ なので \begin{align} y=&-(x^2-4x-6)\\ =&-x^2+4x+6\\ =&-(x-2)^2+10 \end{align}

    2のグラフ
    以上i,iiより、グラフは右図のようになる。

この問の2のグラフは、$y=x^2-4x-6$ のグラフのうち $x$ 軸より下にある部分を上側へ折り返したものになっている。一般に、$y=|f(x)|$ のグラフは、$y=f(x)$ のグラフを描いておき、$x$ 軸より下にある部分を上に折り返すと素早く描くことができる。

絶対値を含む2次方程式

次の方程式を解け。

  1. $|x^2-2x-8|=6x+1$
  2. $|x^2-4x+3|=2-x$

    1. $x^2-2x-8\geqq0$、つまり \begin{align} &x^2-2x-8\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x-4)\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x\leqq{-2}~,~4\leqq{x}\tag{1}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki1} \end{align}
      (1)の図
      のとき、与えられた方程式は \begin{align} &x^2-2x-8=6x+1\\ \Leftrightarrow~&x^2-8x-9=0\\ \therefore~~&x=-1~,~9 \end{align} $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki1}$ の範囲で考えているので、$x=9$
    2. $x^2-2x-8\lt0$、つまり
      $\blacktriangleleft$ i の $x$ の範囲以外 \[-2\lt{x}\lt4\tag{2}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki2}\] のとき、与えられた方程式は
      $\blacktriangleleft$ $x$ の係数が偶数の場合の解の公式参照 \begin{align} &-(x^2-2x-8)=6x+1\\ \Leftrightarrow~&-x^2+2x+8=6x+1\\ \Leftrightarrow~&x^2+4x-7=0\\ \therefore~~&x=-2\pm\sqrt{11} \end{align} $\blacktriangleleft$ $3\lt\sqrt{11}\lt4$ より $-2+\sqrt{11}=1.\cdots$
      $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki2}$ の範囲で考えているので、$x=-2+\sqrt{11}$
    以上 i,ii より、求める解は $\boldsymbol{x=-2+\sqrt{11}~,~9}$
    1. $x^2-4x+3\geqq0$、つまり \begin{align} &x^2-4x+3\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x-3)\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x\leqq{1}~,~3\leqq{x}\tag{3}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki3} \end{align}
      (3)の図
      のとき、与えられた方程式は
      $\blacktriangleleft$ 2次方程式の解の公式参照 \begin{align} &x^2-4x+3=2-x\\ \Leftrightarrow~&x^2-3x+1=0\\ \therefore~~&x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2} \end{align} $\blacktriangleleft$ $\sqrt{5}=2.2360679\cdots$
      $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki3}$ の範囲で考えているので、$x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
    2. $x^2-4x+3\lt0$、つまり
      $\blacktriangleleft$ i の $x$ の範囲以外 \[1\lt{x}\lt3\tag{4}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki4}\] のとき、与えられた方程式は
      $\blacktriangleleft$ 2次方程式の解の公式参照 \begin{align} &-(x^2-4x+3)=2-x\\ \Leftrightarrow~&x^2-5x+5=0\\ \therefore~~&x=\dfrac{5\pm\sqrt{5}}{2} \end{align} $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki4}$ の範囲で考えているので、$x=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}$
    以上 i,ii より、求める解は $\boldsymbol{x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}~,~\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}}$

絶対値を含む2次不等式

次の不等式を解け。

  1. $3x^2+|x^2-9|\lt16x$
  2. $|x^2-8x-3|-2x-8\gt0$

    1. $x^2-9\geqq0$、つまり
      (1)のグラフ
      \begin{align} &x^2-9\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x+3)(x-3)\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x\leqq-3~,~3\leqq{x}\tag{1}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki5} \end{align} のとき、与えられた不等式は
      1で与えられた不等式のグラフ
      \begin{align} &3x^2+x^2-9\lt16x\\ \Leftrightarrow~&4x^2-16x-9\lt0\\ \Leftrightarrow~&(2x+1)(2x-9)\lt0\\ \therefore~~&-\dfrac{1}{2}\lt{x}\lt\dfrac{9}{2} \end{align}
      i の値の範囲
      これと $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki5}$ を合わせて、$3\leqq{x}\lt\dfrac{9}{2}$
    2. \[x^2-9\lt0\tag{2}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki6}\] $\blacktriangleleft$ i の $x$ の範囲以外
      のとき、与えられた不等式は
      $\blacktriangleleft$ 方程式 $2x^2-16x+9=0$ の解を利用した \begin{align} &3x^2-(x^2-9)\lt16x\\ \Leftrightarrow~&2x^2-16x+9\lt0\\ \Leftrightarrow~&\left\{x-\dfrac{8-\sqrt{46}}{2}\right\}\\ &\qquad\left\{x-\dfrac{8+\sqrt{46}}{2}\right\}\lt0\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{8-\sqrt{46}}{2}\lt{x}\lt\dfrac{8+\sqrt{46}}{2} \end{align} $\blacktriangleleft$ $6\lt\sqrt{46}\lt7$ より $\dfrac{8-\sqrt{46}}{2}=0.\cdots$、$\dfrac{8+\sqrt{46}}{2}=7.\cdots$
      これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki6}$ を合わせて、$\dfrac{8-\sqrt{46}}{2}\lt{x}\lt3$
    以上 i,ii より求める解は $\boldsymbol{\dfrac{8-\sqrt{46}}{2}\lt{x}\lt\dfrac{9}{2}}$
    1. $x^2-8x-3\geqq0$、つまり
      $\blacktriangleleft$ 方程式 $x^2-8x-3=0$ の解を利用した \begin{align} &x^2-8x-3\geqq0\\ \Leftrightarrow~&\{x-\left(4-\sqrt{19}\right)\}\\ &\qquad\{x-\left(4+\sqrt{19}\right)\}\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x\leqq{4-\sqrt{19}}~,\\ &\qquad4+\sqrt{19}\leqq{x}\tag{3}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki7} \end{align} のとき、与えられた不等式は
      2で与えられた不等式のグラフ
      \begin{align} &x^2-8x-3-2x-8\gt0\\ \Leftrightarrow~&x^2-10x-11\gt0\\ \Leftrightarrow~&(x+1)(x-11)\gt0\\ \therefore~~&x\lt-1~,~11\lt{x} \end{align} $\blacktriangleleft$ $\sqrt{19}=4.\cdots$
      これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki7}$ を合わせて、$x\lt-1~,~11\lt{x}$
    2. $x^2-8x-3\lt0$、つまり
      $\blacktriangleleft$ i の $x$ の範囲以外 \[4-\sqrt{19}\lt{x}\lt4+\sqrt{19}\tag{4}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki8}\] のとき、与えられた不等式は
      2で与えられた不等式のグラフ
      \begin{align} &-(x^2-8x-3)-2x-8\gt0\\ \Leftrightarrow~&x^2-6x+5\lt0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x-5)\lt0\\ \therefore~~&1\lt{x}\lt5 \end{align} これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki8}$ を合わせて、$1\lt{x}\lt5$
    以上 i,ii より求める解は $\boldsymbol{x\lt-1~,~1\lt{x}\lt5~,~11\lt{x}}$

絶対値記号を複数含む式

以下の問いに答えよ。

  1. 関数 $y=|2x-4|+|x-5|$ のグラフを書け。
  2. 方程式 $|x-3|+|x-5|=3$ を解け。
  3. 不等式 $|x^2-4x+3|+|x-2|\lt{x}$ を解け。

  1. まず、場合分けについて考える。
    • $2x-4\geqq0$ を解くと、$x\geqq2$
    • $x-5\geqq0$ を解くと、$x\geqq5$
    $\blacktriangleleft$ $0$ になる場合は省略している。
    よって、次の表のようになる。
    $x$～$2$$2$～$5$$5$～
    $2x-4$$-$$+$$+$
    $x-5$$-$$-$$+$
    1. $2\leqq{x}$ のとき \begin{align} y=&-(2x-4)-(x-5)\\ =&-3x+9 \end{align}
    2. $2\lt{x}\lt5$ のとき \begin{align} y=&(2x-4)-(x-5)\\ =&x+1 \end{align}
    3. $5\leqq{x}$ のとき \begin{align} y=&(2x-4)+(x-5)\\ =&3x-9 \end{align}
    1のグラフ
    以上 i,ii,iii より、グラフは右図のようになる。
  2. まず、場合分けについて考える。
    • $x-3\geqq0$ を解くと、$x\geqq3$
    • $x-5\geqq0$ を解くと、$x\geqq5$
    $\blacktriangleleft$ $0$ になる場合は省略している。
    よって、次の表のようになる。
    $x$～$3$$3$～$5$$5$～
    $x-3$$-$$+$$+$
    $x-5$$-$$-$$+$
    1. \[x\leqq3\tag{1}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki9}\]のとき \begin{align} &-(x-3)-(x-5)=3\\ \Leftrightarrow~&-x+3-x+5=3\\ \Leftrightarrow~&-2x=-5\\ \therefore~~&x=\dfrac{5}{2} \end{align} これは $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki9}$ に適する。
    2. \[3\lt{x}\lt5\tag{2}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki10}\]のとき \begin{align} &(x-3)-(x-5)=3\\ \Leftrightarrow~&x-3-x+5=3\\ \Leftrightarrow~&2=3 \end{align} $x$がいくつでも、この等式を満たすことはありえない。よって、この場合には解は無い。
    3. \[5\leqq{x}\tag{3}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki11}\]のとき \begin{align} &(x-3)+(x-5)=3\\ \Leftrightarrow~&x-3+x-5=3\\ \Leftrightarrow~&2x=11\\ \therefore~~&x=\dfrac{11}{2} \end{align} これは $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki11}$ に適する。
    以上 i,ii,iii より、求める解は \[\boldsymbol{x=\dfrac{5}{2}~,~\dfrac{11}{2}}\] である。
  3. まず、場合分けについて考える。
    3で与えられた不等式のグラフ
    • $x^2-4x+3\geqq0$ を解くと、$(x-1)(x-3)\geqq0$、$x\leqq1,~3\leqq{x}$
    • $x-2\geqq0$ を解くと、$x\geqq2$
    $\blacktriangleleft$ $0$ になる場合は省略している。
    よって、次の表のようになる。
    $x$～$1$$1$～$2$$2$～$3$$3$～
    $x^2-4x+3$$+$$-$$-$$+$
    $x-2$$-$$-$$+$$+$
    1. \[x\leqq1\tag{4}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki12}\]のとき
      i のグラフ
      \begin{align} &(x^2-4x+3)-(x-2)\lt{x}\\ \Leftrightarrow~&x^2-6x+5\lt0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x-5)\lt0\\ \therefore~~&1\lt{x}\lt5 \end{align} これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki12}$ を合わせて、この場合は解が無い。
    2. \[1\lt{x}\leqq2\tag{5}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki13}\]のとき
      ii のグラフ
      \begin{align} &-(x^2-4x+3)-(x-2)\lt{x}\\ \Leftrightarrow~&-x^2+2x-1\lt0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)^2\gt0\\ \therefore~~&x\lt1,~1\lt{x} \end{align} これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki13}$ を合わせて、$1\lt{x}\leqq2$
    3. \[2\lt{x}\leqq3\tag{6}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki14}\]のとき \begin{align} &-(x^2-4x+3)+(x-2)\lt{x}\\ \Leftrightarrow~&-x^2+4x-5\lt0\\ \Leftrightarrow~&x^2-4x+5\gt0 \end{align}
      iii のグラフ
      $x^2-4x+5$ の判別式を $D$ すると、$\dfrac{D}{4}=2^2-5\lt0$ であり、グラフを考えると、解はすべての実数。
      これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki14}$ を合わせて、$2\lt{x}\leqq3$
    4. \[3\lt{x}\tag{7}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki15}\]のとき
      $\blacktriangleleft$ 方程式 $x^2-4x+1=0$ の解を利用した \begin{align} &(x^2-4x+3)+(x-2)\lt{x}\\ \Leftrightarrow~&x^2-4x+1\lt0\\ \Leftrightarrow~&2-\sqrt{3}\lt{x}\lt2+\sqrt{3} \end{align} これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki15}$ を合わせて、$3\lt{x}\lt2+\sqrt{3}$
    以上 i,ii,iii,iv より、求める解は \[\boldsymbol{1\lt{x}\lt2+\sqrt{3}}\]