\begin{align}a_n=&n(n+1)(n+2)\\\cdots&\{n+(m−1)\}\end{align} ($m$個)と$a_n=n^m$タイプの数列の和

\begin{align}a_n=&n(n+1)(n+2)\\\cdots&\{n+(m−1)\}\end{align} ($m$個)と$a_n=n^m$タイプの数列の和

(無題)

1.10.1と1.10.2の発展形として,次のような数列を考えてみよう.

$\tag{1}\label{mrenzokusunoseki}$

$\eqref{mrenzokusunoseki}$ の数列は,各項の1番左側に着目すると,“初項1,公差1の等差数列”になっている.また,各項の左から2番目だけに着目すると,“初項2,公差1の等差数列”になっている. $\cdots$ .最後に,各項の一番右側だけに着目すると,“初項 $m$ ,公差1の等差数列”になっている.よって,一般項 $a_n$ は

\[a_n=\overbrace{n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))}^{m個の連続数の積}\]

と表すことができる.

この $\eqref{mrenzokusunoseki}$ の数列のように,『 $m$ 個の連続数の積』で表される数列の初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる.

$\text{STEP}1$

$a_n=n(n+1)(n+2)$ の3連続数に着目して, $n,n+1,n+2,\cdots,n+(m-1)$ の $"続き"$ である $n+m$ を掛けたものを下のように書く.

\[n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))(n+m)\]

$\text{STEP}2$

同じく $n,n+1,n+2,\cdots,n+(m-1)$ の $"1つ前"$ である $n-1$ を掛けたものを引く.

\begin{align} &n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))(n+m)\\ &-(n-1)n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1)) \end{align}

$\text{STEP}3$

共通因数 $n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))$ のかたまりを崩さないようにまとめる.

\begin{align} &n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))(n+m)\\ &-(n-1)n(n+1)(n+2)\\ &\qquad\cdots(n+(m-1))\\ =&n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))\\ &\{(n+m)-(n-1)\}\\ =&\overbrace{(m+1)}^{係数}n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1)) \end{align}

$\text{STEP}4$

式全体を $m+1$ で割ることによって,右辺の $n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))$ について解く.

\begin{align} &n(n+1)(n+2)\cdots(n+(m-1))\\ =&\dfrac{1}{m+1}\{n(n+1)\\ &\qquad\cdots(n+(m-1))(n+m)\\ &-(n-1)n(n+1)\cdots(n+(m-1))\} \end{align}

$\text{STEP}5$

右辺の式を利用して,初項から第 $n$ 項までの和を,具体的に書き出してみる.

\begin{align} &\sum_{k=1}^nk(k+1)\cdots(k+(m-1))\\ =&\sum_{k=1}^n\bigg[\frac{1}{m+1}\{k(k+1)\\ &\quad\cdots(k+(m-1))(k+m)\\ &-(k-1)k(k+1)\cdots(k+(m-1))\}\bigg]\\ =&\dfrac{1}{m+1}\sum_{k=1}^n\{k(k+1)\\ &\quad\cdots(k+(m-1))(k+m)\\ &\quad-(k-1)k(k+1)\cdots(k+(m-1))\}\\ =&\dfrac{1}{m+1}\{(1\cdot2\cdots m(m+1)-0\cdot1\cdots m)\\ &\quad+(2\cdot3\cdots(m+1)(m+2)-1\\ &\quad\cdot2\cdots(m+1))+\cdots\\ &\quad+(n(n+1)\cdots(n+(m-1))(n+m)\\ &\quad-(n-1)n\cdots(n+(m-1))\} \end{align}

$\text{STEP}6$

相殺して消える部分ができるので,下のように消していくと,和が求まる.

まとめておこう.

$m$ 連続数の積の数列の和

\begin{align} &\sum_{k=1}^nk(k+1)(k+2)\cdots(k+(m-1))\\ =&\frac{1}{m+1}n(n+1)(n+2)\cdots(n+m) \end{align}