対数の導入

【解答：背理法】

$\log_25$が有理数であると仮定する．$\log_25$は正の数なので，自然数$m，n$をもちいて $\log_25=\dfrac{m}{n}$，すなわち

と表せることになる．

しかし，両辺を$n$乗すると

となり，左辺は偶数，右辺は奇数となるので矛盾する．

よって，$\log_25$は無理数である．

1. 「$3$の$4$乗は$81$である」は「$4$は$3$を底とする$81$の対数である」ということと同じ．

   つまり

   $$\begin{align} 3^4=81~\Longleftrightarrow~\boldsymbol{4=\log_3{81}} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$ 対数の定義
2. 「$10$の $− 2$乗は$0.01$である」は「$− 2$は$10$を底とする$0.01$の対数である」ということと同じ． つまり
   $$\begin{align} 10^{-2}=0.01~\Longleftrightarrow~\boldsymbol{-2=\log_{10}{0.01}} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$対数の定義
3. 「$16$の$-\dfrac{1}{4}$乗は$0.5$である」は「$-\dfrac{1}{4}$は$16$を底とする$0.5$の対数である」ということと同じ． つまり
   $$\begin{align} 16^{-\frac{1}{4}}=0.5~\Longleftrightarrow~\boldsymbol{-\dfrac{1}{4}=\log_{16}{0.5}} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$対数の定義

1. 「$2$は$10$を底とする$100$の対数である」は「$10$の$2$乗は$100$である」ということと同じ．

   つまり

   $$\begin{align} 2=\log_{10}100~\Longleftrightarrow~\boldsymbol{10^2=100} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$対数の定義
2. 「$\dfrac{1}{3}$は$8を底とする$2の対数である」は「$8$の$\dfrac{1}{3}$乗は$2$である」ということと同じ． つまり
   $$\begin{align} \dfrac{1}{3}=\log_82~\Longleftrightarrow~\boldsymbol{8^\dfrac{1}{3}=2} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$対数の定義
3. 「 $− 3$は$5$を底とする$\dfrac{1}{125}$の対数である」は「$5$の $− 3$乗は$\dfrac{1}{125}$である」ということと同じ． つまり
   $$\begin{align} -3=\log_5\dfrac{1}{125}~\Longleftrightarrow~\boldsymbol{5^{-3}=\dfrac{1}{125}} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$対数の定義

1. $\log_464 = x$とおくと
   $$\begin{align} &\log_4{64}=x\\ \Leftrightarrow~&4^x=64\\ \Leftrightarrow~&4^x=4^3 \end{align}$$ $\blacktriangleleft$対数の定義

   $\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=3}$

   【別解】

   対数の定義より$\log_4{64}=\log_44^3=\boldsymbol{3}$

2. $\log_279 = x$とおくと
   $$\begin{align} &\log_{27}9=x\\ \Leftrightarrow~&27^x=9\\ \Leftrightarrow~&3^{3x}=3^2 \end{align}$$ $\blacktriangleleft$対数の定義 $$\begin{align}\Leftrightarrow~&3x=2\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=\dfrac{3}{2}} \end{align}$$
3. $\log_{2}\dfrac{1}{\sqrt{2}}=x$とおくと
   $$\begin{align} &\log_{2}\dfrac{1}{\sqrt{2}}=x\\ \Leftrightarrow~&2^x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow~&2^{x}=2^{-\dfrac{1}{2}} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$対数の定義

   $\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=-\dfrac{1}{2}}$

4. $\log_{\dfrac{1}{4}}\dfrac{1}{2}=x$とおくと
   $$\begin{align} &\log_{\dfrac{1}{4}}\dfrac{1}{2}=x\\ \Leftrightarrow~&\left(\dfrac{1}{4}\right)^x=\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow~&\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x}=\dfrac{1}{2} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$対数の定義 $$\begin{align} \Leftrightarrow~&2x=1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}} \end{align}$$