多項式の除法の計算方法

ここでは， $x^4 + 3x^3 – 4x + 3$ を $x^2 − 3x + 1$ で割ったときの商と余りを求める方法を例として，具体的な計算方法を見ていく．計算方法には次の2つの方法がある．

除法の計算方法～筆算形式～

$x^4 + 3x^3 − 4x + 3$ を $x^2 − 3x + 1$ で割ったときの商と余りを求めよ．

除法の計算方法～筆算形式～の解答

STEP1

まず，整数の割り算と同じように，下図のように書いておく．この例題では，割られる多項式には $x^2$ の項はないが，その場合でも適度にスペースを空け，計算できるようにしておく．

STEP2

$x^2 − 3x + 1$ に何をかけて引くと， $x^4 + 3x^3 − 4x + 2$ の最高次の項 $x^4$ が消えるかを考える．この例題では $x^2$ なので， $x^2$ を下図のように書く．

STEP3

下図のようにして， $x^2 − 3x + 1$ に $x^2$ をかけた式を $x^4 + 3x^3 − 4x + 2$ から引く．

STEP4

STEP2と同じように， $6x^3$ が消えるように $x^2 − 3x + 1$ に $6x$ をかけて引く．

STEP5

同じように， $17x^2$ が消えるように $x^2 − 3x + 1$ に $17$ をかけて引く．

STEP6

最下段の $41x – 15$ の次数が，割る多項式 $x^2 − 3x + 1$ の次数より低いので，ここでやめる．

この結果から $\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2+6x+17)(x^2-3x+1)+41x-15 \end{align}$ となることがわかり，商は $x^2 + 6x + 17$ ，余りは $41x – 15$ とわかる．

吹き出し多項式の除法の計算方法

慣れてきたら $x^4$ や $x^3$ などを省略し，係数だけを並べて筆算するとよい．上の計算では次のようになる．

除法の計算方法～暗算形式～

$x^4 + 3x^3 − 4x + 3$ を $x^2 − 3x + 1$ で割ったときの商と余りを求めよ．

除法の計算方法～暗算形式～の解答

STEP1

まず，右辺を展開したときに $x^4$ が現れるように，下のように書く．

$\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2~~~~~~~~~~) \end{align}$

STEP2

このままでは，右辺の $x^3$ の係数は $− 3$ となり，左辺の $3$ と合わなくなるので，つじつまをあわせるために $+ 6x$ を下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに $x^3$ の係数が $3$ となり，左辺とあう．

$\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x~~~~~) \end{align}$

STEP3

しかし，このままでは，右辺の $x^2$ の係数は $− 17$ となり，左辺の $0$ と合わなくなるので，つじつまをあわせるために $+ 17$ を下のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに $x^2$ の係数が $0$ となり，左辺とあう．

$\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x+17) \end{align}$

STEP4

しかし，このままでは，右辺の $x$ の係数は $− 45$ となり，左辺の $− 4$ と合わなくなるので，つじつまをあわせるために $+ 41x$ を右のように書く．こうすれば，右辺を展開したときに $x$ の係数が $− 4$ となり，左辺とあう．

$\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x+17)+41x \end{align}$

STEP5

最後に，右辺の定数項 $17$ と左辺の定数項 $2$ を合わせるため，右のように $− 15$ を書く．こうすれば，右辺を展開したときの定数項が $17$ となり，左辺とあう．

$\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x+17)\\ &+41x-15 \end{align}$

この結果から，商は $x^2 + 6x + 17$ ，余りは $41x – 15$ とわかる．

吹き出し多項式の除法の計算方法

以上2つの方法を見てきたが，慣れると『暗算形式』の方が『筆算形式』より素早く計算できる．多項式の係数に分数が含まれる場合など，暗算での計算が難しくなる場合には『筆算形式』を使うとよい．

多項式の除法～その１～

次の式の組について，左側の式を右側の式で割ったときの，商と余りを求めよ．

$x^2 + 2x + 1，x – 1$
$x^3 + 3，x + 1$
$x^3 + x^2 + 4x + 3，x^2 − x + 1$
$x^4 + 2x^3 − 3x^2 + 5x + 6，x^2 + x − 1$

多項式の除法～その１～の解答

計算すると（筆算形式は下図を参照）
$\begin{align} x^2+2x+1=(x-1)(x+3)+4 \end{align}$
となるので，商は $\boldsymbol{x+3}$ ，余りは $\boldsymbol{4}$ である．
計算すると（筆算形式は下図を参照）
$\begin{align} x^3+3=(x+1)(x^2-x+1)+2 \end{align}$
となるので，商は $\boldsymbol{x^2-x+1}$ ，余りは $\boldsymbol{2}$ である．
計算すると（筆算形式は下図を参照）
$\begin{align} &x^3+x^2+4x+3\\ =&(x^2-x+1)(x+2)+5x+1 \end{align}$
となるので，商は $\boldsymbol{x+2}$ ，余りは $\boldsymbol{5x+1}$ である．
計算すると（筆算形式は下図を参照）
$\begin{align} & x^4+2x^3-3x^2+5x+6\\ =&(x^2+x-3)(x^2+x-1)+9x+3 \end{align}$
となるので，商は $\boldsymbol{x^2+x-3}$ ，余りは $\boldsymbol{9x+3}$ である．

多項式の除法～その２～

$x^2 + 2x – 3$ で割ると，商が $x + 1$ ，余りが $x + 2$ になる多項式を求めよ.
$2x^3 − 3x^2 + 2x + 4$ を割ると，商が $2x + 1$ ，余りが $2x + 3$ になる多項式を求めよ．

多項式の除法～その２～の解答

求める多項式を $f(x)$ とすると，商が $x + 1$ ，余りが $x + 2$ であるから
$\begin{align} f(x) &=(x+1)(x^2+2x-3)+x+2 \\ &=x^3+3x^2-x-3+x+2\\ &=\boldsymbol{x^3+3x^2-1} \end{align}$
求める多項式を $f(x)$ とおくと
$\begin{align} &2x^3-3x^2+2x+4\\ &=f(x)(2x+1)+2x+3\\ \Leftrightarrow~&f(x)(2x+1)=2x^3-3x^2+1 \\ \Leftrightarrow~&f(x)(2x+1)\\ &=(2x+1)(x^2-2x+1)\\ \therefore~&f(x)=x^2-2x+1 \end{align}$
であるから，求める多項式は $\boldsymbol{x^2-2x+1}$ である．

多項式の除法の一意性

（注）

ここまで計算してきた経験から，多項式の除法では，商や余りが必ず存在し，さらにそれらが一通りに定まることは明らかであろう．

一般に，ある定義で定められたものがただ一通りに定まることを一意性(uniqueness)という．次に，多項式の除法の一意性について，まとめておこう．

多項式の除法の一意性

多項式 $f(x)，g(x)$ において

$\begin{align} &f(x)=g(x)Q(x)+r(x)\\ &\qquad(\deg r(x) \lt \deg g(x)) \end{align}$

を満たす多項式 $Q(x)，r(x)$ が

ただ一通りに

存在する．

【証明：背理法】

多項式 $f(x)$ と $g(x)$ について

$f(x)=g(x)Q_1(x)+r_1(x)$
$\deg r_1(x) \lt \deg g(x)$ $\tag{1}\label{takousikinozyohounoitiisei1}$

$f(x)=g(x)Q_2(x)+r_2(x)$
$\deg r_2(x) \lt \deg g(x)$ $\tag{2}\label{takousikinozyohounoitiisei2}$

と2通りに表されたとする．

$\eqref{takousikinozyohounoitiisei1}-\eqref{takousikinozyohounoitiisei2}$ より

$\begin{align} &0=g(x)Q_1(x)+r_1(x)\\ &-g(x)Q_2(x)-r_2(x)\\ \Leftrightarrow~&g(x)\left\{Q_1(x)-Q_2(x)\right\}\\ &=r_2(x)-r_1(x) \end{align}$

$\tag{3}\label{takousikinozyohounoitiisei3}$

となる．

$\eqref{takousikinozyohounoitiisei3}$ において， $Q_1(x) – Q_2(x)$ が $0$ ではないとすると，左辺の次数が右辺の次数より大きくなってしまう．よって， $Q_1(x) – Q_2(x)$ は $0$ ，つまり $Q_1(x) = Q_2(x)$ である．

また，このとき③の左辺は $0$ となるので

$\begin{align} &0=r_2(x)-r_1(x)\\ \Leftrightarrow~&r_1(x)=r_2(x) \end{align}$

以上より，商と余りが一致することが示されたので，多項式の除法の商と余りは一通りに定まることが証明された．