多項式の除法の計算方法

多項式の除法の計算方法

ここでは, $x^4 + 3x^3 – 4x + 3$を$x^2 − 3x + 1$で割ったときの商と余りを求める方法を 例として,具体的な計算方法を見ていく. 計算方法には次の2つの方法がある.

除法の計算方法~筆算形式~

$x^4 + 3x^3 − 4x + 3$を$x^2 − 3x + 1$で割ったときの商と余りを求めよ.

STEP1

まず,整数の割り算と同じように,下図のように書いておく.この例題では,割られる多項式には$x^2$の項はないが,その場合でも 適度にスペースを空け,計算できるようにしておく.

除法の計算方法~筆算形式~の解答の図その1

STEP2

$x^2 − 3x + 1$に何をかけて引くと,$x^4 + 3x^3 − 4x + 2$の最高次の項$x^4$が消えるかを考える. この例題では$x^2$なので,$x^2$を下図のように書く.

除法の計算方法~筆算形式~の解答の図その2

STEP3

下図のようにして,$x^2 − 3x + 1$に$x^2$をかけた式を$x^4 + 3x^3 − 4x + 2$から引く.

除法の計算方法~筆算形式~の解答の図その3

STEP4

STEP2と同じように,$6x^3$が消えるように$x^2 − 3x + 1$に$6x$をかけて引く.

除法の計算方法~筆算形式~の解答の図その4

STEP5

同じように,$17x^2$が消えるように$x^2 − 3x + 1$に$17$をかけて引く.

除法の計算方法~筆算形式~の解答の図その5

STEP6

最下段の$41x – 15$の次数が,割る多項式$x^2 − 3x + 1$の次数より低いので,ここでやめる.

除法の計算方法~筆算形式~の解答の図その6

この結果から \begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2+6x+17)(x^2-3x+1)+41x-15 \end{align} となることがわかり,商は$x^2 + 6x + 17$,余りは$41x – 15$とわかる.

吹き出し多項式の除法の計算方法

慣れてきたら$x^4$や$x^3$などを省略し,係数だけを並べて筆算するとよい. 上の計算では次のようになる.

多項式の除法の一意性の図

除法の計算方法~暗算形式~

$x^4 + 3x^3 − 4x + 3$を$x^2 − 3x + 1$で割ったときの商と余りを求めよ.

STEP1

まず,右辺を展開したときに$x^4$が現れるように,下のように書く.

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2~~~~~~~~~~) \end{align}

STEP2

このままでは,右辺の$x^3$の係数は$ − 3$となり,左辺の$3$と合わなくなるので,つじつまをあわせるために $+ 6x$を下のように書く.こうすれば,右辺を展開したときに$x^3$の係数が$3$となり,左辺とあう.

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x~~~~~) \end{align}

STEP3

しかし,このままでは,右辺の$x^2$の係数は$ − 17$となり,左辺の$0$と合わなくなるので,つじつまをあわせるために $+ 17$を下のように書く.こうすれば,右辺を展開したときに$x^2$の係数が$0$となり,左辺とあう.

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x+17) \end{align}

STEP4

しかし,このままでは,右辺の$x$の係数は $− 45$となり,左辺の$ − 4$と合わなくなるので,つじつまをあわせるために$ + 41x$を右のように書く.こうすれば,右辺を展開したときに$x$の係数が$ − 4$となり,左辺とあう.

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x+17)+41x \end{align}

STEP5

最後に,右辺の定数項$17$と左辺の定数項$2$を合わせるため,右のように$ − 15$を書く. こうすれば,右辺を展開したときの定数項が$17$となり,左辺とあう.

\begin{align} &x^4+3x^3-4x+2\\ =&(x^2-3x+1)(x^2+6x+17)\\ &+41x-15 \end{align}

この結果から,商は$x^2 + 6x + 17$,余りは$41x – 15$とわかる.

吹き出し多項式の除法の計算方法

以上2つの方法を見てきたが,慣れると『暗算形式』の方が『筆算形式』より素早く計算できる. 多項式の係数に分数が含まれる場合など,暗算での計算が難しくなる場合には『筆算形式』を使うとよい.

多項式の除法~その1~

次の式の組について,左側の式を右側の式で割ったときの,商と余りを求めよ.

  1. $x^2 + 2x + 1,x – 1$
  2. $x^3 + 3,x + 1 $
  3. $x^3 + x^2 + 4x + 3,x^2 − x + 1$
  4. $ x^4 + 2x^3 − 3x^2 + 5x + 6,x^2 + x − 1 $

  1. 計算すると(筆算形式は下図を参照)

    \begin{align} x^2+2x+1=(x-1)(x+3)+4 \end{align}

    となるので,商は$\boldsymbol{x+3}$,余りは$\boldsymbol{4}$である.

    多項式の除法~その1~の解答の図その1
  2. 計算すると(筆算形式は下図を参照)

    \begin{align} x^3+3=(x+1)(x^2-x+1)+2 \end{align}

    となるので,商は$\boldsymbol{x^2-x+1}$,余りは$\boldsymbol{2}$である.

    多項式の除法~その1~の解答の図その2
  3. 計算すると(筆算形式は下図を参照)

    \begin{align} &x^3+x^2+4x+3\\ =&(x^2-x+1)(x+2)+5x+1 \end{align}

    となるので,商は$\boldsymbol{x+2}$,余りは$\boldsymbol{5x+1}$である.

    多項式の除法~その1~の解答の図その3
  4. 計算すると(筆算形式は下図を参照)

    \begin{align} & x^4+2x^3-3x^2+5x+6\\ =&(x^2+x-3)(x^2+x-1)+9x+3 \end{align}

    となるので,商は$\boldsymbol{x^2+x-3}$,余りは$\boldsymbol{9x+3}$である.

    多項式の除法~その1~の解答の図その4

多項式の除法~その2~

  1. $ x^2 + 2x – 3$で割ると,商が$x + 1$,余りが$x + 2$になる多項式を求めよ.

  2. $2x^3 − 3x^2 + 2x + 4$を割ると,商が$2x + 1$,余りが$2x + 3$になる多項式を求めよ.

  1. 求める多項式を$f(x)$とすると,商が$x + 1$,余りが$x + 2$であるから

    \begin{align} f(x) &=(x+1)(x^2+2x-3)+x+2 \\ &=x^3+3x^2-x-3+x+2\\ &=\boldsymbol{x^3+3x^2-1} \end{align}
  2. 多項式の除法~その2~の解答の図

    求める多項式を$f(x)$とおくと

    \begin{align} &2x^3-3x^2+2x+4\\ &=f(x)(2x+1)+2x+3\\ \Leftrightarrow~&f(x)(2x+1)=2x^3-3x^2+1 \\ \Leftrightarrow~&f(x)(2x+1)\\ &=(2x+1)(x^2-2x+1)\\ \therefore~&f(x)=x^2-2x+1 \end{align}

    であるから,求める多項式は$\boldsymbol{x^2-2x+1}$である.

多項式の除法の一意性

(注)

ここまで計算してきた経験から,多項式の除法では,商や余りが必ず存在し,さらにそれらが一通りに定まることは明らかであろう.

一般に,ある定義で定められたものがただ一通りに定まることを一意性(uniqueness)という .次に,多項式の除法の一意性について,まとめておこう.

多項式の除法の一意性

多項式$f(x),g(x)$において

\begin{align} &f(x)=g(x)Q(x)+r(x)\\ &\qquad(\deg r(x) \lt \deg g(x)) \end{align}

を満たす多項式$Q(x),r(x)$が

ただ一通りに

存在する.

【証明:背理法】

多項式$f(x)$と$g(x)$について

$f(x)=g(x)Q_1(x)+r_1(x)$
$\deg r_1(x) \lt \deg g(x)$ $\tag{1}\label{takousikinozyohounoitiisei1}$

$f(x)=g(x)Q_2(x)+r_2(x)$
$\deg r_2(x) \lt \deg g(x)$ $\tag{2}\label{takousikinozyohounoitiisei2}$

と2通りに表されたとする.

$\eqref{takousikinozyohounoitiisei1}-\eqref{takousikinozyohounoitiisei2}$より

\begin{align} &0=g(x)Q_1(x)+r_1(x)\\ &-g(x)Q_2(x)-r_2(x)\\ \Leftrightarrow~&g(x)\left\{Q_1(x)-Q_2(x)\right\}\\ &=r_2(x)-r_1(x) \end{align} $\tag{3}\label{takousikinozyohounoitiisei3}$

となる.

$\eqref{takousikinozyohounoitiisei3}$において,$Q_1(x) – Q_2(x)$が$0$ではないとすると,左辺の次数が右辺の次数より大きくなってしまう. よって,$Q_1(x) – Q_2(x)$は$0$,つまり$Q_1(x) = Q_2(x)$である.

また,このとき③の左辺は$0$となるので

\begin{align} &0=r_2(x)-r_1(x)\\ \Leftrightarrow~&r_1(x)=r_2(x) \end{align}

以上より,商と余りが一致することが示されたので,多項式の除法の商と余りは一通りに定まることが証明された.