不等式の証明の基本

数学Ⅱにおける不等式の性質

FTEXT 数学Iで学んだように，2つの実数$a，b$の間には

\[a>b,~a=b,~a \lt b\]

のうち，いずれか1つの関係が成り立ち，特に不等式には次のような性質があった．

不等式の性質

  1. すべての実数 $c$ で $a \lt b$ \[\Leftrightarrow　a+c \lt b+c, a-c \lt b-c\]
  2. $0 \lt c$ のとき $a \lt b$ \[\Leftrightarrow ac \lt bc, \frac{a}{c} \lt \frac{b}{c}\]
  3. $c \lt 0$ のとき$a \lt b$ \[\Leftrightarrow ac>bc, \frac{a}{c} \gt \frac{b}{c} \text{←逆向き！}\]

不等式の証明の基本について

不等式 $A > B$ を証明するには， $A$ がだんだん小さくなるように変形していって，それでもなお $B$ より大きいことを示せばよい． たとえば，$\sqrt{x^4+2x^2+2}>x^2+1$を示すには

\begin{eqnarray} \text{（左辺）}&=&\sqrt{x^4+2x^2+2}\\ 　　　　　　　&\gt&\sqrt{x^4+2x^2+1}　　　　　　　← 根号の中の値が1だけ小さくなっている\\ 　　　 　　&=&\sqrt{(x^2+1)^2}\\ 　　 　　　&=&x^2+1=\text{（右辺）} \end{eqnarray}

とすればよい．

しかし，一般には $A > B$ と同値である $A − B > 0$ を示すことの方が簡単なことが多い． そのため，このテキストでも適宜 $A − B > 0$ を示す方法を利用する．

不等式の証明

不等式 $A > B$ を証明するには，それと同値の内容である， $A − B > 0$ を示せばよい．

なお $A>B\Rightarrow A\geqq{B}$ であるため， $A\geqq{B}$ を証明するには $A>B$ をいえば十分である．

不等式の証明-その1-

次の不等式を証明せよ．

  1. $a > 1，b > 1$ ならば，
    $\qquad ab + 1 > a + b$
  2. $a > c，b > d$ ならば，
    $\qquad ab + cd > ad + bc$

  1. （左辺） $-$ （右辺）を計算すると

    \begin{align} &ab+1-(a+b) \\ &=a(b-1)-(b-1) \\ &=(a-1)(b-1) \end{align}

    $a > 1，b > 1$ より，$a − 1 > 0，b − 1 > 0$ だから，$(a − 1)(b − 1) > 0$ が成り立つ．

    以上より， $ab + 1 > a + b$ が証明された．

  2. （左辺） $-$ （右辺）を計算すると

    \begin{align} & (ab+cd)-(ad+bc) \\ &=a(b-d)-c(b-d) \\ &=(a-c)(b-d) \end{align}

    $a > c，b > d$ より， $a − c > 0，b − d > 0$ だから， $(a − c)(b − d) > 0$ が成り立つ．

    以上より， $ab + cd > ad + bc$ が証明された．

平方による比較

$a > 0$ かつ $b > 0$ のとき， $a + b > 0$ で

\begin{align} a^2-b^2=(a+b)(a-b) \end{align}

であるから， $a – b$ の符号と $a^2 – b^2$ の符号は同じものになり次のことがいえる．

平方による比較

（注）

$a\geqq0$ かつ $b\geqq0$ のとき

\[a>b~\Longleftrightarrow~a^2>b^2\]

が成り立つ.

このことから，2つの数 $a，b$ がともに $0$ 以上のときには， $a > b$ が成り立つことを証明する代わりに， $a^2 > b^2$ が成り立つことを証明すればよいことがわかる． この論法は，次の例題でみるように，根号を含む不等式の変形の際に活躍する．

平方による比較

次の不等式を証明せよ．等号のあるものについては，等号が成り立つ場合を調べよ．

  1. $ a > 0$ かつ $b > 0$ のとき
    $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$を証明せよ．
  2. $a\geqq0$ かつ $b\geqq0$ のとき，
    $3\sqrt{a}+2\sqrt{b}\geqq\sqrt{9a+4b}$ を証明せよ．

  1. $\sqrt{a}+\sqrt{b}~(>0)\geqq0，\sqrt{a+b}~(>0)\geqq0$ なので， （左辺)$^2 > $ （右辺)$^2$ を示せばよい．　　　　　　　 $\blacktriangleleft$ 平方による比較

    （左辺)$^2 − $ （右辺)$^2$

    \begin{eqnarray} &=&a+2\sqrt{ab}+b-(a+b)\\ &=&2\sqrt{ab}>0 \end{eqnarray}

    よって，（左辺） $>$ （右辺）が証明された．

  2. $3\sqrt{a}+2\sqrt{b}\geqq0，\sqrt{9a+4b}\geqq0$ なので，

    （左辺) $^2\geqq$ （右辺) $^2$ を示せばよい．　　　　 $\blacktriangleleft$ 平方による比較

    （左辺) $^2 −$ （右辺) $^2$

    \begin{align} &=\left(3\sqrt{a}+2\sqrt{b}\ \right)^2-\left(\sqrt{9a+4b}\ \right)^2\\ &=9a+12\sqrt{ab}+4b-(9a+4b)\\ &=12\sqrt{ab}\geqq0 \end{align}

    （左辺） $\geqq$ （右辺）が証明された．

    特に，等号が成立するのは， $12\sqrt{ab}=0$ ，すなわち $a = 0$ または $b = 0$ のときである．

さきほども述べたように，不等式 $A\geqq B$ を証明する基本は，それと同値の内容の $A-B\geqq0$ を証明することである． ある値が $0$ 以上になることをいうには，一般にはいろいろな方法があるが， 次の節から扱う有名な不等式を利用することが多い．