整数の除法

整数の割り算の復習

まず,小学校以来慣れ親しんできた,整数の除法(integer division)について復習する.

説明文

説明文

たとえば,右図のような計算により,17を3で割ると,商は5で余りは2とわかる.この関係を式で表すと \[17=3\times5+2\]

となる.

このとき,17を割られる数,3を割る数と呼ぶので,一般的には次のような関係が成り立つ.

\[(割られる数)=(割る数)\times(商)+(余り)\]

また,(割る数) $\gt$ (余り) $\geqq0$ の関係がある.

整数の除法とは何か,つまり整数 $a$ を整数 $b$ で割ったときの商と余りを求めるとはどういうことなのかを きちんと定義すると

\[a=b\cdot Q+r\quad(0\leqq{r}\lt{Q})\]

を満たす整数 $Q$ と $r$ を求めることとなる.そして,この求まった値 $Q$ と $r$ をそれぞれ,商と余りと呼ぶのである.

$\blacktriangleleft$ 普段割り算で行う筆算は,この $Q$ や $r$ を求めるための手段に過ぎない.

約数と倍数

約数と倍数

余りが0になるような割り算を考える. 例えば,12を3で割ると,商は4余りは0となる. このとき,3は12の約数であり,12は3の倍数であるという.

一般には次のように表すことができる.

約数と倍数

2つの整数 $a,b$ が,ある整数 $k$ を用いて

\[a=bk\]

と表せる時, $b$ は $a$ の約数であるといい, $a$ は $b$ の倍数であるという。

文脈によっては約数のことを,因数と呼ぶこともある. 例えば

\[60=3\cdot4\cdot5\]

なので,3や4や5は,60の約数であり因数である.

倍数の和と積

  1. 整数 $a$ の倍数の和は $a$ の倍数であることを示せ.
  2. 整数 $a$ の倍数の積は $a$ の倍数であることを示せ.

整数 $a$ の倍数は,適当な整数 $m,n$ を用いて, $am,an$ と表すことができる.

このとき,倍数の和は

\begin{align} &am+an\\ =&a(m+n) \end{align}

であり, $m+n$ は整数であるから, $a$ の倍数である.

また,倍数の積は

\begin{align} &am\cdot an\\ =&a\cdot amn \end{align}

であり, $amn$ は整数であるから, $a$ の倍数である.

倍数の和と積

ある整数の倍数の和はある数の倍数である.

また,ある整数の倍数の積はある数の倍数である.

割り算の一意性

割り算の一意性

割り算の一意性

なし