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円と三角形

円周角の定理

円周角の定理

円周角の定理

無題

無題

1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり，その弧に対する中心角の大きさの半分である．

円周角の定理

次の図で， ∠x の大きさを求めよ．

  1. 48∘
  2. 132∘
  3. 105∘
  4. 112∘
  5. 70∘
  6. 50∘

円周角の定理の逆

無題

無題

4点 A,B,P,Q について，点 P,Q が直線 AB に関して同じ側にあって

∠APB=∠AQB

ならば，4点 A,B,P,Q は1つの円周上にある．

円周角の定理の逆

次の図で， ∠x の大きさを求めよ．

  1. ∠ABD=∠ACD=30∘ より，

    2. 4点 A,B,C,D は同一円周上にある．

    ∠CBD=∠CAD=40∘ より，

    △BCD において，

    \angle{x}=180^\circ-(40^\circ+81^\circ+30^\circ)=\boldsymbol{29^\circ}
  2. \angle{\text{CAD}}=180^\circ-(118^\circ+30^\circ)=32^\circ

    3. \angle{\text{CAD}}=\angle{\text{CBD}} より，

    4点 \text{A},\text{B},\text{C},\text{D} は同一円周上にある．

    \angle{x}=\angle{\text{ACD}}=\boldsymbol{30^\circ}
  3. \angle{\text{CAD}}=42^\circ-27^\circ=15^\circ

    4. \angle{\text{CAD}}=\angle{\text{CBD}} より，

    4点 \text{A},\text{B},\text{C},\text{D} は同一円周上にある．

    \begin{align} \angle{x}&=\angle{\text{ABD}}\\ &=180^\circ-(98^\circ+27^\circ+15^\circ)\\ &=\boldsymbol{40^\circ} \end{align}

円に内接する四角形の定理

円に内接する四角形の定理

円に内接する四角形の定理

無題

無題

円に内接する四角形について，次の2つが成り立つ．

  1. 対角の和は 180^\circ である．
  2. 内角は，その対角の外角に等しい．

証明

円に内接する四角形の定理

次の図で， \angle{x},\angle{y} の大きさを求めよ．

  1. \angle{x}=180^\circ-110^\circ=\boldsymbol{70^\circ},\angle{y}=\boldsymbol{120^\circ}
  2. \angle{\text{BAD}}=180^\circ-100^\circ=80^\circ より，
    3. \angle{x}=180^\circ-(80^\circ+55^\circ)=\boldsymbol{45^\circ}
  3. \angle{x}=78^\circ\times2=\boldsymbol{156^\circ}
  4. \angle{\text{CAD}}=86^\circ-52^\circ=34^\circ より，
    5. \angle{x}=180^\circ-34^\circ\times2=\boldsymbol{112^\circ}
  5. \triangle{\text{ABC}} は \text{AB}=\text{AC} の二等辺三角形だから，
    6. \angle{\text{ABC}}=(180^\circ-50^\circ)\times\frac{1}{2}=65^\circ， \angle{x}=180^\circ-65^\circ=\boldsymbol{115^\circ}
  6. \triangle{\text{OCD}} は \text{OC}=\text{OD} の二等辺三角形だから，
    7. \angle{\text{COD}}=180^\circ-38^\circ\times2=104^\circ, \angle{x}=104^\circ\times\frac{1}{2}=\boldsymbol{52^\circ}

    \angle{\text{BCD}}=180^\circ-112^\circ=68^\circ より， \triangle{\mathrm{BCD}} において，

    \angle{y}=180^\circ-(52^\circ+68^\circ+38^\circ)=\boldsymbol{22^\circ}