確率の基本性質

確率の基本性質

ある試行における標本空間を $U$ ,事象を $A$ とする.このとき, $U,A$ はそれぞれ, $n(U),n(A)$ 個の根元事象からなり

\[0\leqq n(A)\leqq n(U)\]

が成り立つ.根元事象が同様に確からしい場合, $\dfrac{n(A)}{n(U)}=\text{P}(A)$ であるから,上の式を $n(U)$ で割ることにより

\[0\leqq \text{P}(A)\leqq 1\tag{1}\label{kakuritunokihonseisitu1}\]

となる.特に標本空間 $U$ に関しては

\[\text{P}(U) = 1\tag{2}\label{kakuritunokihonseisitu2}\]

である.

また,事象 $A,B$ について $A\cap{B}=\emptyset$ すなわち $A$ と $B$ が共通の根元事象をもたないとき, $A\cup{B}$ の作る根元事象の個数は

\[n(A\cup{B})=n(A)+n(B)\]

であるから,両辺を $n(U)$ で割ることにより

\[\frac{n(A\cup{B})}{n(U)}=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(B)}{n(U)}\]

つまり

\[\text{P}(A\cup{B})=\text{P}(A)+\text{P}(B)\tag{3}\label{kakuritunokihonseisitu3}\]

となる.

確率の基本性質

ある試行における標本空間を $U$ ,事象を $A,B$ とすると,根元事象が同様に確からしいとき

  1. $0\leqq \text{P}(A)\leqq1$
  2. $\text{P}(U)=1$
  3. $A\cap{B}=\emptyset$ のとき, $\text{P}(A\cup{B})=\text{P}(A)+\text{P}(B)$

が成り立つ.

$A\cap{B}=\emptyset$ のとき,事象 $A$ と $B$ は排反はいはんであるという.詳しくは,この後すぐ加法定理と排反事象で学ぶ.