開平法について

開平法の手順

例として、 $\sqrt{823.69}$ の値を開平法で計算する。

$823.69$ を根号の中に書き、「小数点を基準」にして「2桁ずつ」区切っていく。また、横にスペースをとっておく。
一番左の数は $8$ 。2乗して $8$ を超えない最大の数 $2$ を、右図のように3ヶ所に書く。
$(2\times2=)2^2=4$ を $8$ の下に書き、 $8$ から $4$ を引く。そして、 $23$ を下に下ろす。
また、その横で $2+2=4$ を計算する。
「 $4\fbox{?}$ 」に「 $\fbox{?}$ 」を掛けて「 $423$ 」を超えない、最大の1桁の整数 $\fbox{?}$ を求める。 $48\times8=384\leqq423\lt49\times9=441$ であるので、 $\fbox{?}$ は $8$ 。これを3ヶ所に書き込む。
$48\times8$ の結果 $384$ を $423$ の下に書き、 $423$ から引く。そして、 $69$ を下に下ろす。さらに、小数点を打つ。
また、 $48+8$ を横で計算しておく。
「 $56\fbox{?}$ 」に「 $\fbox{?}$ 」を掛けて「 $3969$ 」を超えない、最大の1桁の整数 $\fbox{?}$ を求める。 $567\times7=3969\leqq3969\lt568\times8$ より $\fbox{?}$ は $7$ であり、 $3969-567\times7=0$ なので計算は完了。 $\sqrt{823.69}=28.7$ とわかる。

（いつまでも

$0$ が現れないときは、計算を繰り返すことでより精密な近似値を求めることができる。）

「開平」とは「ある数の平方根を求めること」であり、「開平法 (extraction of square root)」とは、その「開平」を筆算のような計算で求める方法である。いずれも和算の時代から使われた用語であり、開平法は古くからそろばんによって用いられていた。

開平法の計算は、化学や物理において必要とされることがある。

なぜ、前ページの開平法によって平方根が求められるのか、その仕組みを下に図で示しておく（途中の計算式の中に、実際の計算のときには必要のない数字があるので注意すること）。余裕のある人は、各自で考えてみよう。

$\sqrt{153664}$ 、 $\sqrt{1.1236}$ 、 $\sqrt{13}$ 、 $\sqrt{9.8}$ の値を開平法によって計算せよ（無限に続く場合は、四捨五入によって上から3桁まで計算せよ）。

開平法によって、下のように計算できて $\sqrt{153664}=\boldsymbol{392}$
開平法によって、下のように計算できて $\sqrt{1.1236}=\boldsymbol{1.06}$
$\blacktriangle$ 下のように、 $0$ を引く部分を省略しても構わない。ただし、補助の計算から $0$ を省略してはいけない。
開平法によって、下のように計算できて $\begin{align} \sqrt{13}&=3.605\cdots\\ &=\boldsymbol{3.61} \end{align}$
$\blacktriangle$ 下のように、 $0$ を引く部分を省略しても構わない。ただし、補助の計算から $0$ を省略してはいけない。
開平法によって、下のように計算できて $\begin{align} \sqrt{9.8}&=3.130\cdots\\ &=\boldsymbol{3.13} \end{align}$
$\blacktriangle$ $9.8$ とは、物理で重要となる「重力加速度 $(\text{m}/\text{s}^2)$ 」の近似値である。余談になるが、この答えは $\pi$ に近い値である。

電卓で値を確かめながら、いろいろな値で練習しよう。