自然数

自然数とは何か

(注)

ものの数を数えるとき、表現の仕方はいろいろだが、私たちは順序をつけて考えている。 たとえば

日本語ならば
一、二、三、四、・・・
英語ならば
one、two、three、four、・・・
ドイツ語ならば
ein、zwei、drei、vier、・・・
フランス語ならば
un、deux、trois、quatre、・・・
順序をつけてものの数を数えるということは、たとえば、リンゴ $3$ 個と鉛筆 $3$ 本は全く異なるものなのに、同じ「$3$」という言葉でひとくくりにする、ということである。これは、ものに備わった「数」という点以外のあらゆる個性を捨て去ることに他ならない。

(注)

愛着ある飼い猫のように、その個性が重要な場合には、数を数えることに意味は無い。 しかし、$100$ 匹の羊を放牧するときのように、ある程度心理的距離のあるものを管理する場合には、数を数えることには大きな意味がある。数を数えておかないと、夕刻、羊を小屋にしまうとき、迷子の羊がいてもわからなくなってしまう。

ものの数を数える行為によって生まれる数、$1$、$2$、$3$、$\cdots$ を自然数 (natural number)という。

自然数

$1,~2,~3,~\cdots$ のような数

たとえば、次の数は全て自然数である。 \[1,~3,~42,~100,~23789\] 私達がすでに使っている $\dfrac{2}{3}$ や $-3$ などは、'数'ではあるが自然数ではない。

自然数の図示

自然数の様子を図で見えるようにするため、以下のようなことを考えよう。

(注)

まず、向きのある直線(下図では右向き)上に原点 $\text{O}$ をとり、適当な長さをもった線分を、原点 $\text{O}$ からすきまが無いように直線の向きと同じ側に次々と並べる。そして、線分のつなぎ目に自然数を対応させていく。

自然数の数直線の図

自然数の数直線の図

このようにすると、線分のつなぎ目の点として自然数を表現できる。

この自然数の図示によって生まれた、上図のような数を表す直線のことを数直線 (number line) という。数直線上のある点 $\text{X}$ について「点 $\text{X}$ に対応する数が $a$ であること」を、$\text{X}(a)$ と書く。たとえば、下図では点 $\text{X}$ に対応する数が $3$ であるので、$\text{X}(3)$ である。

例のある自然数の数直線の図

例のある自然数の数直線の図