ベクトルの1次独立の定義（空間）
ベクトルの1次独立の定義（空間）
2 つの→a，→b が1 次独立であることの定義は，「ベクトルの1 次独立の定義」で見たように
s→a+t→b=→0を満たす実数s，t がs=t=0 のときに限る，ことであった．
ここでは，これを拡張して，3 つの→a，→b，→c に関する1 次独立を次のように定義する．
1 次独立の定義
「→a，→b，→c が1 次独立である」とは
s→a+t→b+u→c=→0を満たす実数s，t，u がs=t=u=0のときに限る，ことである．
たとえば，右図のように空間内にある→a，→b，→cでは
s→a+t→b+u→c=→0となるs，t はs=t=u=0 のときに限られるので，→a，→b，→c は1 次独立である．
また，左図のように同一平面上にある→a，→b，→c（→c=→a+2→b を満たす）では，s=t=u=0 のとき以外に も，たとえばs=−1，t=−2，u=1 のときや，s=2，t=4，u=−2 のときも
s→a+t→b+u→c=→0を満たすので，→a，→b，→c は1 次独立であるとはいえない．
つまり，次のようなことがいえる．
1 次独立なベクトルと平行でないベクトル
→a，→b，→c が1 次独立であるならば，→a，→b，→c は同一平面内にない．逆に，→a，→b，→c が同一平面になければ，→a，→b，→c は1 次独立である．
つまり
「→a と →b が1次独立」 ⟺ →a、→b、→c が同一平面内にない
である．
証明は省略．