ベクトルの加法

ベクトルの加法の定義

無題

無題

2 つのベクトル$\vec{a},\vec{b}$ に対して,まず点$\text{ A}$ を定めて

\[\vec{a} =\overrightarrow{\text{AB}}, \vec{b} =\overrightarrow{\text{BC}}\]

となる点$\text{ B},\text{ C}$ を取るとき,ベクトル$\overrightarrow{\text{AC}}$ を$\vec{a}$ と$\vec{b}$ の和といい,$\vec{a} + \vec{b}$ と書く.すなわち,

\[\overrightarrow{\text{AB}} +\overrightarrow{\text{BC}} =\overrightarrow{\text{AC}}\]

ベクトルの加法に関する計算法則

一般に,ベクトルの加法について,次のことが成り立つ.

ベクトルの加法に関する計算法則

  1. 交換法則$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

  2. 分配法則$(\vec{a} + \vec{b}) +\vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} +\vec{c})$

(注)

【証明】

  1. 1の図

    2 つのベクトル,$\vec{a},\vec{b}$ について

    \begin{align} \vec{a}&=\overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{\text{BC}}\\ \vec{b}&=\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{AC}} \end{align}

    となるように点 $\text{ O},\text{ A},\text{ B},\text{ C}$ をとる.このとき,

    \begin{align} \vec{a}+\vec{b}&=\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{OC}}\\ \vec{b}+\vec{a}&=\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{OC}} \end{align}

    よって

    \[\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\]

    以上より,$\vec{a}+\vec{b}(=\vec{b}+\vec{a})$ は $\overrightarrow{\text{OA}}(=\vec{a}),\overrightarrow{\text{OB}}(=\vec{b})$ によってつくられる平行四辺形 $\text{OACB}$ の対角線のベクトルとして表すことができる.

  2. 2の図

    3つのベクトル $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ について $\vec{a}=\overrightarrow{\text{OA}},\vec{b}=\overrightarrow{\text{AB}},\vec{c}=\overrightarrow{\text{BC}}$ となるように点 $\text{O},\text{A},\text{B},\text{C}$ をとる.

    このとき,

    \begin{align} (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} &=(\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{AB}})+\overrightarrow{\text{BC}}\\ &=\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{OC}}\\ \vec{a}+(\vec{b} +\vec{c}) &=\overrightarrow{\text{OA}}+(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}})\\ &=\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{OC}} \end{align}

    よって

    \[(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\]

以上より,ベクトルの和に関しては,その順序を区別しなくてよいので括弧を省略して,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ と書く.

逆ベクトルとゼロベクトル

逆ベクトル

逆ベクトル (注)

ある$\vec{a}$に対し,大きさが等しく向きが反対であるベクトルを,$\vec{a}$ の 逆ベクトル(inverse vector) といい,$−\vec{a}$で表す.

いま,右図のように$\vec{a} =\overrightarrow{\text{AB}}$ とすると,$−\vec{a} =\overrightarrow{\text{BA}}$ であるから

\[\overrightarrow{\text{BA}} = −\overrightarrow{\text{AB}}\]

である.

$\vec{a} =\overrightarrow{\text{AB}}$ と,その逆ベクトル$−\vec{a} =\overrightarrow{\text{BA}}$ の和は

\[\vec{a} + (−\vec{a}) =\overrightarrow{\text{AB}} +\overrightarrow{\text{BA}} =\overrightarrow{\text{AA}}\]

となる.このとき,$\overrightarrow{\text{AA}}$ を,始点と終点が一致した特別な有向線分の表すベクトルと考えて,これを ゼロベクトル(zero vector) といい,記号$\vec{0}$ で表す.つまり

\[\vec{a} + (−\vec{a}) = \vec{0}\]

である.

ゼロベクトルの大きさは$0$ とし,その向きは考えないものとする.ゼロベクトルには,数の$0$ と同じように次のような性質がある.

\[\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}\]

成分表示された平面ベクトルの加法

無題

無題

右図のような2 つのベクトルを考える.

\[\vec{a} =\overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} 5\\ −3\\ \end{array} \right) , \vec{b} =\overrightarrow{\text{BC}} = \left( \begin{array}{c} 2\\ 7\\ \end{array} \right)\]

いま,$\vec{a} + \vec{b} =\overrightarrow{\text{AC}}$ は右図より $\left( \begin{array}{c} 7\\ 4\\ \end{array} \right)$ となる.つまり

\[\left( \begin{array}{c} 5\\ −3\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 2\\ 7\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 7\\ 4\\ \end{array} \right)\]

が成立する.

一般に,$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right)$ と $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ \end{array} \right)$ の和$\vec{a} + \vec{b}$ は

\[\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_x+b_x\\ a_y+b_y\\ \end{array} \right)\]

となる.

無題

無題

また,$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right)$ の逆ベクトルの成分表示は,右図より$−\vec{a} = \left( \begin{array}{c} −a_x\\ −a_y\\ \end{array} \right)$ となり,ゼロベクトルの成分表示は

\[\vec{0} = \vec{a} + (−\vec{a}) = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} −a_x\\ −a_y\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array} \right)\]

となる.

ベクトルの加法

無題

無題

無題

無題

無題

無題

$\vec{a},\vec{b}$ が次のように表されているとき,$\vec{a} + \vec{b}$ を図示し,成分表示せよ.ただし,1 マスの1 辺の長さは$1$ とする.

  1. 1の図

    右図より,$\vec{a}+\vec{b}$ について,$x$ の増分は $4,y$ の増分は $2$ であるので,$\boldsymbol{\vec{a}+\vec{b}=}\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{4}\\\boldsymbol{2}\\\end{array}\right)$

  2. 2の図

    右図より,$\vec{a}+\vec{b}$ について,$x$ の増分は $-5,y$ の増分は $-1$ であるので,$\boldsymbol{\vec{a}+\vec{b}=}\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{−5}\\\boldsymbol{−1}\\\end{array}\right)$

  3. 3の図

    右図より,$\vec{a}+\vec{b}$ について,$x$ の増分は $-4,y$ の増分は $4$ であるので,$\boldsymbol{\vec{a}+\vec{b}=}\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{-4}\\\boldsymbol{4}\\\end{array}\right)$