数学I 第2章 関数と方程式・不等式 — 2次方程式と2次関数

2次方程式とは

2次方程式とは

、、 を定数として という形で表すことのできる方程式を2次方程式 (quadratic equation) という。

与えられた2次方程式を満たす の値を求めることを、その2次方程式を解くといい、 その の値を、その2次方程式の解とよぶ。

2次方程式の解法

因数分解を利用した解法

2次方程式 の左辺が因数分解できる場合には、実数 、 についての積の性質 をもちいて、次の例のように解くことができる。

注 ここでいう「 または 」とは か の一方でも成り立てばよい（両方でもよい）という意味である。通常の会話における「または」は、「どちらかが正しく、残りは間違い」の意味であることが多い。しかし、数学における「または」は「少なくともどちらかが正しい（両方とも正しい場合を含む）」の意味で使われる。「または」の扱いについては、FTEXT数学Aにおいて詳しく学ぶ。

なお、「または」はカンマ「」で代用されることがある。

2次方程式の解の公式による解法

2次方程式 は以下のように解くことができる。 一般に、 の形 の2次方程式は、上のようにして解くことができる。つまり、一般の2次方程式 も、 の形に変形できれば解ける。

では、どのように変形すれば という形になるのだろうか。それには、すでに学習した方法である『平方完成』(『 のグラフ』を参照)を使う。

暗記2平方完成を利用した2次方程式の解法

『2次方程式の解法』の例題では、因数分解を利用して解いた2次方程式 を、今度は平方完成を使って解いてみよう。

まず、 の係数 によって と の項をくくると を利用して、中かっこ の中を平方完成すると 2乗して になるので、 は の平方根であるから が解となる。

解答を見る

、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、

以上のように、平方完成を利用すれば、一般の2次方程式を解くことができることがわかった。しかし、2次方程式を解くたびに平方完成を実行していたのでは大変なので、結果を公式化してみよう。

を満たす実数 は、 であるが、 を満たすような実数 は存在しない。同様に、上の式変形での において、右辺にある「 」の値が 以上ならば、この2次方程式は解をもつが、「 」の値が負ならば、この2次方程式は解をもたない。

この を2次方程式の判別式 (discriminant) といい、2次関数の場合と同じように で表す。

の係数が偶数の場合の解の公式

2次方程式 において が偶数の場合を考えてみよう。 とおいて、 に解の公式を使うと次のようになる。

• 具体的な2次方程式
• 一般の2次方程式

このように、 の係数が偶数の場合には、計算の最後で2で約分する必要があるので、解の公式を別に用意して、この手間をはじめから回避してしまおう。

2次方程式の解の個数

解自体ではなく解の個数だけならば、判別式 を調べればよい。

2次方程式の解と因数分解

ここまで、2次方程式の解法が2つあることをみてきたが、その2つを見比べてみよう。

1. 因数分解を利用した解法
2. 解の公式を用いた解法

上の の部分を、iの因数分解に対応させて、 の因数分解 が予想できる。そこで、 の右辺を展開してみると となり、 の式の左辺と一致している。つまり、 の因数分解は正しい。

一般に、2解α（アルファ）、β（ベータ）をもつ2次方程式 の左辺は、 と因数分解できる。すなわち、 が成立する。ここで の係数を比較すると、次のようになる。