数直線と座標平面上の点

この章では座標をもちいて直線や円の性質について学んでいく。まずは準備として、数直線や座標平面上の点について考えていく。

数直線上の点

数直線上の2点間の距離

まずは，数直線上の点に関する知識から確認していこう．

\FTEXT 数学Iでも学んだように，数直線上の2点間の距離は次のようになる.

数直線上の2点間の距離

無題

数直線上の2点 $A(x_1)，B(x_2)$ 間の距離 $AB$ は

$AB=|x_2-x_1|$

である．

内分・外分とは何か

線分の分割を表すのに，内分と外分という2つの方法がある．

内分

無題

正の数 $m，n$ とする．線分 $AB$ 上の点 $P$ について

$AP:PB=m : n$

が成り立つとき，点 $P$ は線分 $AB$ を $m : n$ に

内分（interior devision）

するといい，点 $P$ のことを内分点という．

外分

無題

正の数 $m，n$ とする．線分 $AB$ の延長上の点 $Q$ について

$AQ:QB=m : n$

が成り立つとき，点 $Q$ は線分 $AB$ を $m : n$ に

外分（exterior devision）

するといい，点 $Q$ のことを外分点という．

右図のように，点 $Q$ は

$m > n$ のときは，線分 $AB$ の $B$ の方向への延長上
$m < n$ のときは，線分 $AB$ の $A$ の方向への延長上

にある．

数直線上の内分点の座標

数直線上の2点 $A(x_1)，B(x_2)$ に対して，線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x)$ を求めてみよう．

$AP:PB = m : n$ だから

$nAP = mPB$ $\tag{1}\label{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$

ここで，右図より

1) $x_1 < x_2$ のとき， $x_1 < x < x_2$ だから

$AP = x − x_1，PB = x_2 – x$

2) $x_1 > x_2$ のとき， $x_1 > x > x_2$ だから

$AP=x_1 − x，PB=x − x_2$

1)，2)のいずれにせよ， $\eqref{suuchokusenjounonaibuntennozahyou}$ は

$n(x-x_1)=m(x_2-x),$

$\Leftrightarrow~(m+n)x=nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n}$

となる．

数直線上の内分点

数直線上の2点 $A(x_1)，B(x_2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x)$ は

$x=\dfrac{n x_1 + mx_2}{m+n}$

である．

吹き出し数直線上の内分点の座標

無題

分子の $nx_1 + mx_2$ は，右図のように座標と比を交差して掛けたものを足し合わせたもの，と覚えるとよい．

特に， $P$ が中点のとき， $m = n$ より， $x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$ である．

数直線上の外分点の座標

暗記数直線上の外分点

数直線上の内分点を参考に，数直線上の2点 $A(x_1)，B(x_2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x)$ は

$x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$

であることを示せ．ただし， $x_1 < x_2$ とする．

数直線上の外分点の解答

$AQ:QB = m : n$ だから

$nAQ = mQB$ $\tag{1}\label{suuchokusenjounogaibunten}$

ここで，右図より

1) $m > n$ のとき， $x_1 < x_1 < x$ だから

$AQ = x − x_1，QB = x − x_2$

2) $m < n$ のとき， $x > x_1 > x_2$ だから

$AQ=x_1 − x，QB=x_2 – x$

1)，2)のいずれにせよ， $\eqref{suuchokusenjounogaibunten}$ は

$n(x-x_1)=m(x-x_2),$

$\Leftrightarrow~(m-n)x=-nx_1+mx_2$

$\therefore~x=\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

である．

上の例題は $x_1 > x_2$ の場合でも同様の結論になるので，次のようにまとめられる．

数直線上の外分点

数直線上の2点 $A(x_1)，B(x_2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x)$ は

$x=\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$

である．

吹き出し数直線上の外分点の座標

$\dfrac{-n x_1+mx_2}{m-n}$ は，分母分子に $− 1$ を掛けることにより， $\dfrac{n x_1-mx_2}{-m+n}$ と表すこともできるので，外分点の公式は， $m，n$ のうちどちらかにマイナスをつけて

内分点の

公式に代入すると覚えるとよい．

座標平面上の点

座標平面上の2点間の距離

無題

座標平面上の2点 $A(x_1,~y_1)，B(x_2,~y_2)$ 間の距離 $AB$ について考えよう．

右図のように点 $C$ をとると

$AC= | x_2 − x_1 | , BC= | y_2 − y_1 |$

なので，三平方の定理より

$\begin{align} {AB}^2&={AC}^2+{BC}^2\\ &=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \end{align}$

なので， $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ となる．

座標平面上の2点間の距離

座標平面上の2点 $A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)$ 間の距離は

$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

である．

2点間の距離

2点 $A,~B$ が次の座標にあるとき，2点 $A,~B$ の間の距離を求めよ．

$A(1, 3)，B(5, 6)$
$A( − 3, − 5)，B(2, 3)$
$A(6, − 1)，B( − 2, 4)$

2点間の距離の解答

$AB=\sqrt{(5-1)^2+(6-3)^2}=\boldsymbol{5}$
$AB=\sqrt{\{2-(-3)\}^2+\{3-(-5)\}^2}$
$\qquad=\boldsymbol{\sqrt{89}}$
$AB=\sqrt{(-2-6)^2+\{4-(-1)\}^2}$
$\qquad=\boldsymbol{\sqrt{89}}$

中線定理の証明

$\vartriangle ABC$ において，辺 $BC$ の中点を $M$ とする．このとき

$\text{AB}^2 + \text{AC}^2 =2(\text{AM}^2 + \text{MB}^2)$

であることを，座標平面を用いて示せ．

中線定理の証明の解答

点 $A，B，C，M$ を右図のように座標平面上で $A(a_1,~a_2)，B(-c,~0)，C(c,~0)，M(0,~0)$ とおいても一般性を失わない．座標平面状の2点間の距離を考えて

$\begin{align} &\text{AB}^2+\text{AC}^2\\ =&\left(\sqrt{(a_1+c)^2+{a_2}^2}\right)^2\\ &+\left(\sqrt{(a_1-c)^2+{a_2}^2}\right)^2\\ =&{a_1}^2+2{a_1}c+c^2+{a_2}^2\\ &+{a_1}^2-2{a_1}c+c^2+{a_2}^2\\ =&2({a_1}^2+{a_2}^2+c^2) \end{align}$

同様に

$\begin{align} &2(\text{AM}^2 + \text{MB}^2)\\ =&2\left\{\left(\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\right)^2+\left(\sqrt{c^2}\right)^2\right\}\\ =&2({a_1}^2+{a_2}^2+c^2) \end{align}$

よって， $\text{AB}^2+\text{AC}^2=2(\text{AM}^2 + \text{MB}^2)$ が成り立つ．

（注）

この例題のように，座標を用いて幾何（図形）の証明問題を解くこともできる．このようなアプローチの幾何学を 座標幾何学（coordinate geometry）という

座標平面上の内分点の座標

無題

2点 $A(x_1, y _1)，B(x_2, y_ 2)$ に対して，線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x, y)$ を求めてみよう．

右図のように $P'$ は線分 $A'B'$ を $m : n$ に内分する点なので

$x=\dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n}$

であり， $y$ 座標の方も同様にして

$y=\dfrac{ny_1 + my_2}{m+n}$

である．

座標平面上の内分点

座標平面上の2点 $A(x_1, y _1)，B(x_2, y_ 2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $P$ の座標 $(x, y)$ は

$x=\dfrac{n x_1 + mx_2}{m+n}~~,~~~y=\dfrac{n y_1 + my_2}{m+n}$

である．

特に， $P$ が中点のとき， $m = n$ より， $x=\dfrac{x_1 +x_2}{2}，y=\dfrac{y_1 +y_2}{2}$ である．

座標平面上の内分点

以下の点 $A, B$ について，それぞれ，線分 $AB$ を $3:1$ に内分する点 $P$ ，線分 $AB$ を $2:3$ に内分する点 $Q$ ，線分 $AB$ の中点 $M$ の座標を求めよ．

$A(2, 5)，B(3, 2)$
$A( − 2, 3)，B(3, − 1)$
$A(0, 0)，B(3, − 4)$

座標平面上の内分点の解答

$P$ の座標は $\left(\dfrac{1\cdot2+3\cdot3}{3+1},~\dfrac{1\cdot5+3\cdot2}{3+1}\right)$
$Q$ の座標は $\left(\dfrac{3\cdot2+2\cdot3}{2+3},~\dfrac{3\cdot5+2\cdot2}{2+3}\right)$
$M$ の座標は $\left(\dfrac{2+3}{2},~\dfrac{5+2}{2}\right)$ なので
$\boldsymbol{\text{P}\left(\dfrac{11}{4},~\dfrac{11}{4}\right)}$
$\boldsymbol{\text{Q}\left(\dfrac{12}{5},~\dfrac{19}{5}\right)}$
$\boldsymbol{\text{M}\left(\dfrac{5}{2},~\dfrac{7}{2}\right)}$
$P$ の座標は $\left(\dfrac{1\cdot(-2)+3\cdot3}{3+1},~\dfrac{1\cdot3+3\cdot(-1)}{3+1}\right)$
$Q$ の座標は $\left(\dfrac{3\cdot(-2)+2\cdot3}{2+3},~\dfrac{3\cdot3+2\cdot(-1)}{2+3}\right)$
$M$ の座標は $\left(\dfrac{-2+3}{2},~\dfrac{3+(-1)}{2}\right)$ なので
$\boldsymbol{\text{P}\left(\dfrac{7}{4},~0\right)}$
$\boldsymbol{\text{Q}\left(0,~\dfrac{7}{5}\right)}$
$\boldsymbol{\text{M}\left(\dfrac{1}{2},~1\right)}$
$\boldsymbol{\text{P}\left(\dfrac{9}{4},~-3\right)}$
$\boldsymbol{\text{Q}\left(\dfrac{6}{5},~-\dfrac{8}{5}\right)}$
$\boldsymbol{\text{M}\left(\dfrac{3}{2},~-2\right)}$
$\blacktriangleleft P\left(\dfrac{1\cdot0+3\cdot3}{3+1},~\dfrac{1\cdot0+3\cdot(-4)}{3+1}\right)$
$Q\left(\dfrac{3\cdot0+2\cdot3}{2+3},~\dfrac{3\cdot0+2\cdot(-4)}{2+3}\right)$
$M\left(\dfrac{0+3}{2},~\dfrac{0+(-4)}{2}\right)$

座標平面上の外分点の座標

暗記座標表面上の外分点

座標平面上の内分点を参考に座標平面上の2点 $A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x,y)$ は

$x=\dfrac{-n x_1 + mx_2}{m-n},~y=\dfrac{-n y_1 + my_2}{m-n}$

であることを示せ．

座標表面上の外分点の解答

無題

右図のように $P'$ は線分 $A'B'$ を $m :n$ に外分する点なので

$x=\dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

であり， $y$ 座標の方も同様にして

$y=\dfrac{-ny_1 + my_2}{m-n}$

である．

座標平面上の外分点

座標平面上の2点 $A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)$ に対し，線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $Q$ の座標 $(x,y)$ は

$x=\dfrac{-n x_1 + mx_2}{m-n}~~,~y=\dfrac{-n y_1 + my_2}{m-n}$

である．

座標表面上の外分点

以下の点 $A, B$ について，それぞれ，線分 $AB$ を $3:1$ に外分する点 $P$ ， $2:3$ に外分する点 $Q$ ， $4:3$ に外分する点 $R$ の座標を求めよ．

$A(2, 5)，B(3, 2)$
$A( − 2, 3)，B(3, − 1)$

座標表面上の外分点の解答

点 $P$ は線分 $AB$ を $3:( − 1)$ に内分した点 $\blacktriangleleft 1$ の方が小さいので $1$ を $( − 1)$ 倍

点 $Q$ は線分 $AB$ を $( − 2):3$ に内分した点 $\blacktriangleleft 2$ の方が小さいので $2$ を $( − 1)$ 倍

点 $R$ は線分 $AB$ を $4:( − 3)$ に内分した点 $\blacktriangleleft 3$ の方が小さいので $3$ を $( − 1)$ 倍

と考えて，公式に当てはめればよい．

$P$ の座標は $\left(\dfrac{(-1)\cdot2+3\cdot3}{3+(-1)},~\dfrac{(-1)\cdot5+3\cdot 2}{3+(-1)}\right)$
$\blacktriangleleft$ 次のような図を書いてみよう.
$Q$ の座標は $\left(\dfrac{3\cdot2+(-2)\cdot3}{(-2)+3},~\dfrac{3\cdot5+(-2)\cdot 2}{(-2)+3}\right)$
$R$ の座標は $\left(\dfrac{(-3)\cdot2+4\cdot 3}{4+(-3)},~\dfrac{(-3)\cdot 5+4\cdot 2}{4+(-3)}\right)$
なので $P\,\boldsymbol{\left(\dfrac{7}{2},~\dfrac12\right)}, Q\,\boldsymbol{\left(0,~11\right)}, R\,\boldsymbol{\left(6,-7\right)}$
$P\,\boldsymbol{\left(\dfrac{11}{2},-3\right)},$
$Q\,\boldsymbol{\left(-12,~11\right)},$
$R\,\boldsymbol{\left(18,-13\right)}$
$\blacktriangleleft P\left(\dfrac{(-1)\cdot(-2)+3\cdot3}{3+(-1)}\right. ,$
$\qquad\left.\dfrac{(-1)\cdot3+3\cdot(-1)}{3+(-1)}\right)$
$Q\left(\dfrac{3\cdot(-2)+(-2)\cdot3}{(-2)+3}\right. ,$
$\qquad\left.\dfrac{3\cdot3+(-2)\cdot(-1)}{(-2)+3}\right)$
$R\left(\dfrac{(-3)\cdot(-2)+4\cdot 3}{4+(-3)}\right. ,$
$\qquad\left.\dfrac{(-3)\cdot 3+4\cdot(-1)}{4+(-3)}\right)$

三角形の重心

無題

どんな三角形でも，各頂点から引いた3本の中線は1点で交わる．この点を三角形の重心（centroid, center of gravity）という．図に示したように，重心は三角形の中線を $2:1$ に内分する．

以下では，座標平面上のにある三角形の重心の座標を求めてみよう．

暗記平面図形と座標

座標平面上に $A(x_1, y_1)，B(x_2,y_2)，C(x _3, y_3)$ があり， $G$ を $\vartriangle ABC$ の重心とする．

線分 $BC$ の中点を $N$ とする． $N$ の座標を求めなさい．
$G$ が線分 $AN$ を $2:1$ に内分する点であることを用い， $G$ の座標を求めなさい．

平面図形と座標の解答

$N$ は $BC$ の中点なので， $\boldsymbol{\left(\dfrac{x_2 +x_3}{2},~\dfrac{y_2 +y_3}{2}\right)}$ $\blacktriangleleft$ 座標平面上の内分点の座標
$G$ の座標は
$\left(\dfrac{x_1 + 2\cdot\dfrac{x_2 +x_3}{2}}{2+1}\right. ,$
$\qquad\left.\dfrac{y_1 + 2\cdot\dfrac{y_2 +y_3}{2}}{2+1}\right)$ $\blacktriangleleft$ 座標平面上の内分点の座標

である．この $x$ 座標， $y$ 座標をそれぞれ計算して， $\boldsymbol{\left(\dfrac{x_1 +x_2 +x_3}{3},~\dfrac{y_1 +y_2 +y_3}{3}\right)}$ が $G$ の座標になる．

座標平面上の三角形の重心の座標

座標平面上の3点 $A(x_1, y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3, y_3)$ について， $\vartriangle ABC$ の重心 $G$ の座標は

$G\left(\dfrac{x_1 +x_2 +x_3}{3},~\dfrac{y_1 +y_2 +y_3}{3}\right)$

である．

吹き出し三角形の重心

三角形の重心の座標は三角形の3頂点の座標の平均だと覚えるとよい．

三角形の重心

$A(3, 2)，B( − 1, 4)，C( − 3, − 5)$ に対し， $\vartriangle ABC$ の重心 $G$ の座標を求めよ．
$A(1, a)，B(b, 2)，C(3, − 3)$ の重心が原点であるとき， $a, b$ の値を求めよ．

三角形の重心の解答

$G(x, y)$ とすると
$x=\dfrac{3 +(-1) +(-3)}{3}=\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}}$
$y=\dfrac{2 +4 +(-5)}{3}=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$
重心の座標が $(0, 0)$ なので
$\left(\dfrac{1 +b +3}{3},~\dfrac{a +2 +(-3)}{3}\right)=(0,~0)$
$\Leftrightarrow \begin{cases} &1 +b +3 = 0\\ &a +2 +(-3) = 0 \end{cases}$
$\therefore~~ \boldsymbol{(a,~b) = (1,-4)}$

数直線と座標平面上の点

数直線上の点

数直線上の2点間の距離

数直線上の2点間の距離

無題

内分・外分とは何か

内分

無題

外分

無題

無題

数直線上の内分点の座標

数直線上の内分点

吹き出し数直線上の内分点の座標

無題

数直線上の外分点の座標

暗記数直線上の外分点

数直線上の外分点の解答

数直線上の外分点

吹き出し数直線上の外分点の座標

座標平面上の点

座標平面上の2点間の距離

無題

座標平面上の2点間の距離

2点間の距離

2点間の距離の解答

中線定理の証明

中線定理の証明の解答

座標平面上の内分点の座標

無題

座標平面上の内分点

座標平面上の内分点

座標平面上の内分点 の解答

座標平面上の外分点の座標

暗記座標表面上の外分点

座標表面上の外分点の解答

無題

座標平面上の外分点

座標表面上の外分点

座標表面上の外分点の解答

三角形の重心

無題

暗記平面図形と座標

平面図形と座標の解答

座標平面上の三角形の重心の座標

吹き出し三角形の重心

三角形の重心

三角形の重心の解答

座標平面上の内分点の解答