数学I 第2章関数と方程式・不等式 — 関数

この節の前提いろいろな数

2つの変数 $x$ と $y$ が、互いに関係なくばらばらに動くのではなく、 $x$ の値に応じて $y$ の値が決まるとき、 $y$ は $x$ の関数であるという。以下では、関数の考え方を確認し、関数にまつわる基本的な用語について学んでいく。

関数の基本知識

関数とは何か

$3 L$ の水が入っている水槽の中に毎分 $2 L$ の割合で水を入れたとする。

水を入れてから経過した時間が $x$ 分とすると、水槽の中の水の量 $y L$ は $y=2x+3$ と計算することができる。

中央に「？」と書かれた箱があり、左から x が入って右から 2x+3 が出る様子が矢印で示されている。箱の下には「時間と水の量の関係」と添えられている。

また、正方形の一辺の長さを $x cm$ とすると、その面積 $y cm²$ は $y=x²$ と計算することができる。

中央に「？」と書かれた箱があり、左から x が矢印で入り、右へ x^2 が矢印で出ていく。下には「正方形の1辺の長さと面積の関係」と記されている。このように、「 $x$ の値を決めるとそれに応じて $y$ の値がただ1つだけ決まる」とき、 $y$ は $x$ の関数 (function) であるという。

ただし、「ただ1つ」という条件は $y$ の側だけにつくことに注意しよう。 $y=x²$ のように、異なる $x$ の値（ $1$ と $-1$ など）に同じ $y$ の値が対応しても構わない。

$y$ が $x$ の関数であるということを、一般的に $y=f(x)$ などと表す。関数 $y=f(x)$ において、 $x$ の値が $a$ であるとき、対応する $y$ の値を $f(a)$ で表し、 $f(a)$ を $x=a$ のときの関数 $f(x)$ の値という。

たとえば、 $f(x)=2x²-3x+4$ のとき $f(1)=2・ 1²-3・ 1+4=3$ $f(a)=2・ a²-3・ a+4=2a²-3a+4$ である。

また $f(x-1)=2(x-1)²-3(x-1)+4=2x²-7x+9$ という書き方もできる。 $x$ に $x-1$ をあてはめるという考え方に初めは違和感を覚えるかもしれない。 $x$ は何かを入れるための箱のようなものと考えるとよい。

この $x$ のように、いろいろな値をとる文字を変数 (variable) という。水槽の例では、経過した時間 $x$ も、それに応じて決まる水の量 $y$ も変数である。これに対して、決まった値を表す文字や数は定数 (constant) という。

関数をグラフで表すということ

平面上に数直線を2本、直交するようにとると、その平面上の点 $P$ の位置は、次の図のように実数の組 $(a, b)$ で表すことができる。この組 $(a, b)$ を点 $P$ の座標 (coordinates) といい、 $P(a, b)$ と書く。

原点Oで直交するx軸とy軸があり、右上に点Pが位置している。点Pから各軸へ伸ばした点線により、x軸上のaとy軸上のbに対応していることが示されている。この直交する数直線のことを座標軸 (coordinate axes) といい、座標軸の定められた平面を座標平面 (coordinate plane) という。

座標平面は、座標軸によって4つの部分に分けられる。これらを下図のように、それぞれ

$x>0$ 、 $y>0$ ：第一象限しょうげん (first quadrant)
$x<0$ 、 $y>0$ ：第二象限 (second quadrant)
$x<0$ 、 $y<0$ ：第三象限 (third quadrant)
$x>0$ 、 $y<0$ ：第四象限 (fourth quadrant)

という（座標軸はどの象限にも含めない）。

座標平面がx軸とy軸によって4つに分けられている。右上に第1象限、左上に第2象限、左下に第3象限、右下に第4象限とそれぞれ記されている。次に、関数 $y=f(x)$ を座標平面に図示することを考えよう。

たとえば、関数 $y=x+2$ を図示するには、 $y=x+2$ を満たす値の組 $(x, y)$ を座標として座標平面上に点を打っていけばよい。

座標平面上に、関数 y=x+2 のグラフを表す直線が描かれている。この直線は、x軸上の点 -2 と y軸上の点 2 を通る右上がりの直線である。

同様に、関数 $y=x²$ を図示するには、 $y=x²$ を満たす値の組 $(x, y)$ を座標として座標平面上に点を打っていけばよい。

座標平面上に、原点Oを頂点とする関数 y=x^2 の放物線が描かれている。x=1 のとき y=1、x=2 のとき y=4 となる曲線上の点が点線で示されている。

一般に、関数 $y=f(x)$ において、 $x$ の値とそれに対応する $y$ の値の組 $(x, y)$ を座標とする点全体の作る座標平面上の図形を、関数 $y=f(x)$ のグラフ (graph) という。

定義域とは何か

関数 $y=f(x)$ において、 $x$ のとる値の範囲を、この関数の定義域 (domain) という。定義域をはっきりと示す場合には、関数とともに $y=f(x) (a≦ x≦ b)$ などと書く。

たとえば、関数 $y=x+2$ において、 $x$ のとる値の範囲、すなわち定義域を $-1≦ x≦3$ とするとき $y=x+2 (-1≦ x≦3)$ と表す。

座標平面上に直線 y=x+2 が描かれており、xが-1から3までの範囲が両端に黒丸のある実線の線分で表されている。その外側の直線部分は点線になっている。

ただし、関数においてその定義域が特に示されていない場合には、その関数が意味を持つ範囲ですべての $x$ の値を考える。たとえば $y=x+2$ とだけ書かれていた場合には、定義域はすべての実数であり、また $y=1/x$ とだけ書かれていた場合には、 $0$ での除法は意味をなさないので、定義域は $0$ 以外のすべての実数である。

値域と最大値・最小値

関数 $y=f(x)$ において、 $x$ が定義域すべての値をとるときの $y$ のとる値の範囲を、この関数の値域 (range) という。

たとえば、関数 $y=x+2 (-1≦ x≦3)$ の値域は、下のグラフからわかるように $1≦ y≦5$ となる。

座標平面上に直線y=x+2が破線で描かれ、xが-1から3までの範囲にあたる、点(-1, 1)から点(3, 5)までの部分が黒丸の端点をもつ実線で示されている。このように、関数において、その値域に最も大きい値があるとき、その値をこの関数の最大値 (maximum value) といい、その値域に最も小さい値があるとき、その値をこの関数の最小値 (minimum value) という。

たとえば、上の関数 $y=x+2 (-1≦ x≦3)$ では、値域が $1≦ y≦5$ であるから、 $x=3$ のとき最大値 $5$ をとり、 $x=-1$ のとき最小値 $1$ をとる。

なお、式は同じでも定義域を $-1< x<3$ とすると、値域は $1< y<5$ となり、 $5$ にいくらでも近い値はとれるが $5$ そのものはとれない。 $1$ についても同じであるから、この場合は最大値も最小値も無い。上の定義で「最も大きい値があるとき」「最も小さい値があるとき」と断っているのは、このように最大値や最小値が存在しない場合があるからである。

最終更新: 2026-09-03

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