『平方の公式』を逆に利用した因数分解

平方の公式の逆利用

次の式を因数分解せよ。

$\begin{align} &x^2+6x+9\\ =&x^2+2{\cdot}3x+3^2\\ =&\boldsymbol{(x+3)^2} \end{align}$ $\begin{array}{c||c|} &x&3\\\hline{x}&x^2&3x\\\hline 3&3x&9\\\hline \end{array}$
$\begin{align} &4x^2-12xy+9y^2\\ =&(2x)^2-2\cdot(2x)(3y)+(3y)^2\\ =&\boldsymbol{(2X-3y)^2} \end{align}$ $\begin{array}{c||c|} &2x&-3y\\\hline2x&4x^2&-6xy\\\hline -3y&-6xy&9y^2\\\hline \end{array}$
$a^2=A$ とおくと、 $a^4=A^2$ であるので、 $\begin{align} &a^4+4a^2+4\\ =&A^2+4A+4\\ =&(A+2)^2\\ =&\boldsymbol{(a^2+2)^2}\\ &\blacktriangleleft 慣れればおきかえずにできる \end{align}$ $\begin{array}{c||c|} &a^2&2\\\hline{a^2}&a^4&2a^2\\\hline 2&2a^2&4\\\hline \end{array}$

因数分解後の式は、「展開」してみると因数分解前の式と同じになので、自分の実行した因数分解が正しいかどうかは、展開することによって確認できる。少し面倒だが、因数分解した後には、かならず展開して確認するようにしよう。まちがった因数分解をしても何にもならないのだから…。