ベクトルの正射影と有向距離（空間）

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルでもベクトルの正射影と有向距離を定義する．

$\vec{0}$ でない2 つの空間ベクトル，$\vec{a}，\vec{b}$ に対して，点$\text{O}$ を始点として

\[\vec{a} =\overrightarrow{\text{OA}} , \vec{b} =\overrightarrow{\text{OB}}\]

となるように点$\text{A}，\text{B}$ をとる．

いま，右図の点$\text{B}$ からから直線$\text{OA}$ に下ろした垂線の足を$\text{H}$ とする．このとき，$\overrightarrow{\text{OH}}$を$\vec{b}$ の$\vec{a}$ への正射影ベクトルといい$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ と表す．正射影ベクトル$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ は，$\vec{a}，\vec{b}$ とそのなす角$\theta$ を用いて次のように表すことができる．

1. $\boldsymbol{0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ}$ のとき

   
   \begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &= \dfrac{\text{OH}}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &= \dfrac{\text{OB}\cos \theta}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &=\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a} \end{align}

2. $\boldsymbol{90^\circ < \theta \leqq 180^\circ}$ のとき

   
   \begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &= − \dfrac{\text{OH}}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &= − \dfrac{\text{OB}\cos(180^\circ − \theta)}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &=\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a} \end{align}

つまり，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ で$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} =\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}$と表せる．この$\left|\vec{b}\right| \cos \theta$ の値のことを，$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$の有向距離または符号付長さという．

なお，$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ の大きさは

\begin{align} \left|_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}\right| &= \left|\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}\right|\\ &=\dfrac{\left|\vec{b} \cos \theta \right|}{\left|\vec{a}\right|}\left|\vec{a}\right|\\ &=\left|\vec{b} \cos \theta \right| \end{align}

で表される．