分数列の和

(無題)

一般項 $a_n$ が

\[a_n=\frac{1}{n(n+1)}\tag{1}\label{bunsuretunowa}\]

で与えられる数列は,具体的に書くと

となる.

この $\eqref{bunsuretunowa}$ のように,一般項 $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$ で表される数列の,初項から第 $n$ 項までの和は次のように求めることができる

STEP1

まず $a_n=\frac{1}{n(n+1)}$ を分解する.このとき,下のように自分で $a$ とおく( $a$ の値は後で求める).

\[\frac{1}{n(n+1)}=\frac{a}{n}-\frac{a}{n+1}\]

$\blacktriangleleft$ 分母の $n(n+1)$ を分解して $n$ と $n+1$ にする

このような式変形を,部分分数分解(resolve into partial fractions)という.

STEP2

右辺を通分し, $\frac{1}{n(n+1)}$ と等しくなるように $a$ を決定する.

\begin{align} &\ \frac{a}{n}-\frac{a}{n+1}\\ =&\ \frac{a(n+1)}{n(n+1)}-\frac{an}{n(n+1)}\\ &\blacktriangleleft\frac{1}{n(n+1)}で通分した\\ =&\ \frac{a}{n(n+1)} \end{align}

これが, $\frac{1}{n(n+1)}$ と等しくなるのは,(分子を比較して) $a=1$ のときである.これより

\[\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\]

$\blacktriangleleft$ 分解が完了した

という等式を得る.

STEP3

右辺の式を利用して,初項から第 $n$ 項までの和を,具体的に書き出してみる.

\begin{align} &\ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\\ =&\ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\ =&\ \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\\ &+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \end{align}

STEP4

相殺して消える部分ができるので,下のように消していく.

\begin{align} &\ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}\\ =&\ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\ =&\ \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\\ &+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ =&\ \frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\\ =&\ \frac{n}{n+1} \end{align}

よって

\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}\]

を得る.

解法をまとめておこう.

$a_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$ の数列の和の解法

STEP1 $\colon$ 部分分数に分解する.

STEP2 $\colon$ 部分分数の係数を決定する.

STEP3 $\colon$ 具体的に和を書き出してみる.

STEP4 $\colon$ 相殺して消える部分があるので消し, $S_n$ を求める.

分数数列の和

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ.

\[\frac{1}{1\cdot3},\frac{1}{3\cdot5},\frac{1}{5\cdot7},\cdots\]

一般項を求めて部分分数に分解する.

一般項 $\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ より

\begin{align} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}&=\frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)}\cdot\frac{1}{2}\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) \end{align}

よって

\begin{align} S_n&=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots\\ +\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right\}\\ &=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n}{2n+1}\\ &=\frac{n}{2n+1} \end{align}